Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60353 / 40134
↖ ↑ ↗
← N 57.031763°
W 14.235535°		 ← 166.20 m → N 57.031763°
W 14.232788°		 →
↑
166.22 m
↓
↑
166.22 m
↓
N 57.030269°
W 14.235535°		 ← 166.21 m →
27 627 m²		 N 57.030269°
W 14.232788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460460662841797 y=0.306201934814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460460662841797 × 217)
    floor (0.460460662841797 × 131072)
    floor (60353.5)     		tx = 60353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306201934814453 × 217)
    floor (0.306201934814453 × 131072)
    floor (40134.5)     		ty = 40134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60353 / 40134 ti = "17/60353/40134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60353/40134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60353 ÷ 217
    60353 ÷ 131072     		x = 0.460456848144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40134 ÷ 217
    40134 ÷ 131072     		y = 0.306198120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460456848144531 × 2 - 1) × π
    -0.0790863037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24845695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306198120117188 × 2 - 1) × π
    0.387603759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21769312414867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24845695} λ = -0.24845695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21769312414867))-π/2
    2×atan(3.37938291786643)-π/2
    2×1.28309418649415-π/2
    2.5661883729883-1.57079632675     		φ = 0.99539205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24845695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.235535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99539205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.031763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60353 KachelY 40134 -0.24845695 0.99539205 -14.235535 57.031763
    Oben rechts KachelX + 1 60354 KachelY 40134 -0.24840901 0.99539205 -14.232788 57.031763
    Unten links KachelX 60353 KachelY + 1 40135 -0.24845695 0.99536596 -14.235535 57.030269
    Unten rechts KachelX + 1 60354 KachelY + 1 40135 -0.24840901 0.99536596 -14.232788 57.030269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99539205-0.99536596) × R
    2.60899999999786e-05 × 6371000     		dl = 166.219389999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99539205-0.99536596) × R
    2.60899999999786e-05 × 6371000     		dr = 166.219389999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24845695--0.24840901) × cos(0.99539205) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544174012206621 × 6371000     		do = 166.204750366964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24845695--0.24840901) × cos(0.99536596) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544195900810652 × 6371000     		du = 166.211435710047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99539205)-sin(0.99536596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544174012206621-0.544195900810652)×R²
    abs(-0.24840901--0.24845695)×2.18886040304067e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18886040304067e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18886040304067e-05×40589641000000     		ar = 27627.0078393331m²