Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60352 / 56256
↖ ↑ ↗
← N 24.686952°
W 14.238281°		 ← 277.51 m → N 24.686952°
W 14.235535°		 →
↑
277.46 m
↓
↑
277.46 m
↓
N 24.684457°
W 14.238281°		 ← 277.52 m →
76 998 m²		 N 24.684457°
W 14.235535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460453033447266 y=0.429203033447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460453033447266 × 217)
    floor (0.460453033447266 × 131072)
    floor (60352.5)     		tx = 60352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429203033447266 × 217)
    floor (0.429203033447266 × 131072)
    floor (56256.5)     		ty = 56256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60352 / 56256 ti = "17/60352/56256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60352/56256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60352 ÷ 217
    60352 ÷ 131072     		x = 0.46044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56256 ÷ 217
    56256 ÷ 131072     		y = 0.42919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46044921875 × 2 - 1) × π
    -0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42919921875 × 2 - 1) × π
    0.1416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.444854428474121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24850489} λ = -0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.444854428474121))-π/2
    2×atan(1.56026304942717)-π/2
    2×1.00083246432794-π/2
    2.00166492865588-1.57079632675     		φ = 0.43086860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43086860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.686952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60352 KachelY 56256 -0.24850489 0.43086860 -14.238281 24.686952
    Oben rechts KachelX + 1 60353 KachelY 56256 -0.24845695 0.43086860 -14.235535 24.686952
    Unten links KachelX 60352 KachelY + 1 56257 -0.24850489 0.43082505 -14.238281 24.684457
    Unten rechts KachelX + 1 60353 KachelY + 1 56257 -0.24845695 0.43082505 -14.235535 24.684457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43086860-0.43082505) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dl = 277.457050000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43086860-0.43082505) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dr = 277.457050000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24850489--0.24845695) × cos(0.43086860) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.90860331284959 × 6371000     		do = 277.510839193516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24850489--0.24845695) × cos(0.43082505) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.908621501088476 × 6371000     		du = 277.516394349837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43086860)-sin(0.43082505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90860331284959-0.908621501088476)×R²
    abs(-0.24845695--0.24850489)×1.81882388866628e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81882388866628e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81882388866628e-05×40589641000000     		ar = 76998.1094565296m²