Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60352 / 40004
↖ ↑ ↗
← N 57.225556°
W 14.238281°		 ← 165.34 m → N 57.225556°
W 14.235535°		 →
↑
165.33 m
↓
↑
165.33 m
↓
N 57.224069°
W 14.238281°		 ← 165.34 m →
27 335 m²		 N 57.224069°
W 14.235535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460453033447266 y=0.305210113525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460453033447266 × 217)
    floor (0.460453033447266 × 131072)
    floor (60352.5)     		tx = 60352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305210113525391 × 217)
    floor (0.305210113525391 × 131072)
    floor (40004.5)     		ty = 40004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60352 / 40004 ti = "17/60352/40004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60352/40004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60352 ÷ 217
    60352 ÷ 131072     		x = 0.46044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40004 ÷ 217
    40004 ÷ 131072     		y = 0.305206298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46044921875 × 2 - 1) × π
    -0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305206298828125 × 2 - 1) × π
    0.38958740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22392492109927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24850489} λ = -0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22392492109927))-π/2
    2×atan(3.40050830221431)-π/2
    2×1.28478534943127-π/2
    2.56957069886255-1.57079632675     		φ = 0.99877437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99877437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.225556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60352 KachelY 40004 -0.24850489 0.99877437 -14.238281 57.225556
    Oben rechts KachelX + 1 60353 KachelY 40004 -0.24845695 0.99877437 -14.235535 57.225556
    Unten links KachelX 60352 KachelY + 1 40005 -0.24850489 0.99874842 -14.238281 57.224069
    Unten rechts KachelX + 1 60353 KachelY + 1 40005 -0.24845695 0.99874842 -14.235535 57.224069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99877437-0.99874842) × R
    2.59500000000523e-05 × 6371000     		dl = 165.327450000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99877437-0.99874842) × R
    2.59500000000523e-05 × 6371000     		dr = 165.327450000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24850489--0.24845695) × cos(0.99877437) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541333231880435 × 6371000     		do = 165.337102933661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24850489--0.24845695) × cos(0.99874842) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541355050669457 × 6371000     		du = 165.343766953444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99877437)-sin(0.99874842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541333231880435-0.541355050669457)×R²
    abs(-0.24845695--0.24850489)×2.18187890212995e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18187890212995e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18187890212995e-05×40589641000000     		ar = 27335.3124928777m²