Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60351 / 42049
↖ ↑ ↗
← N 54.057776°
W 14.241028°		 ← 179.24 m → N 54.057776°
W 14.238281°		 →
↑
179.22 m
↓
↑
179.22 m
↓
N 54.056164°
W 14.241028°		 ← 179.25 m →
32 123 m²		 N 54.056164°
W 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460445404052734 y=0.320812225341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460445404052734 × 217)
    floor (0.460445404052734 × 131072)
    floor (60351.5)     		tx = 60351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320812225341797 × 217)
    floor (0.320812225341797 × 131072)
    floor (42049.5)     		ty = 42049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60351 / 42049 ti = "17/60351/42049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60351/42049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60351 ÷ 217
    60351 ÷ 131072     		x = 0.460441589355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42049 ÷ 217
    42049 ÷ 131072     		y = 0.320808410644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460441589355469 × 2 - 1) × π
    -0.0791168212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24855282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320808410644531 × 2 - 1) × π
    0.358383178710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.12589396137626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24855282} λ = -0.24855282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12589396137626))-π/2
    2×atan(3.08297167498205)-π/2
    2×1.25714125003733-π/2
    2.51428250007467-1.57079632675     		φ = 0.94348617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24855282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.241028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94348617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.057776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60351 KachelY 42049 -0.24855282 0.94348617 -14.241028 54.057776
    Oben rechts KachelX + 1 60352 KachelY 42049 -0.24850489 0.94348617 -14.238281 54.057776
    Unten links KachelX 60351 KachelY + 1 42050 -0.24855282 0.94345804 -14.241028 54.056164
    Unten rechts KachelX + 1 60352 KachelY + 1 42050 -0.24850489 0.94345804 -14.238281 54.056164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94348617-0.94345804) × R
    2.81300000000151e-05 × 6371000     		dl = 179.216230000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94348617-0.94345804) × R
    2.81300000000151e-05 × 6371000     		dr = 179.216230000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24855282--0.24850489) × cos(0.94348617) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.586969161955005 × 6371000     		do = 179.238094841985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24855282--0.24850489) × cos(0.94345804) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.586991936032105 × 6371000     		du = 179.2450491804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94348617)-sin(0.94345804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586969161955005-0.586991936032105)×R²
    abs(-0.24850489--0.24855282)×2.27740770992746e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.27740770992746e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.27740770992746e-05×40589641000000     		ar = 32122.9987973594m²