Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60351 / 40003
↖ ↑ ↗
← N 57.227043°
W 14.241028°		 ← 165.30 m → N 57.227043°
W 14.238281°		 →
↑
165.33 m
↓
↑
165.33 m
↓
N 57.225556°
W 14.241028°		 ← 165.30 m →
27 329 m²		 N 57.225556°
W 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460445404052734 y=0.305202484130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460445404052734 × 217)
    floor (0.460445404052734 × 131072)
    floor (60351.5)     		tx = 60351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305202484130859 × 217)
    floor (0.305202484130859 × 131072)
    floor (40003.5)     		ty = 40003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60351 / 40003 ti = "17/60351/40003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60351/40003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60351 ÷ 217
    60351 ÷ 131072     		x = 0.460441589355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40003 ÷ 217
    40003 ÷ 131072     		y = 0.305198669433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460441589355469 × 2 - 1) × π
    -0.0791168212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24855282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305198669433594 × 2 - 1) × π
    0.389602661132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.22397285799889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24855282} λ = -0.24855282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22397285799889))-π/2
    2×atan(3.4006713159466)-π/2
    2×1.28479832408815-π/2
    2.5695966481763-1.57079632675     		φ = 0.99880032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24855282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.241028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99880032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.227043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60351 KachelY 40003 -0.24855282 0.99880032 -14.241028 57.227043
    Oben rechts KachelX + 1 60352 KachelY 40003 -0.24850489 0.99880032 -14.238281 57.227043
    Unten links KachelX 60351 KachelY + 1 40004 -0.24855282 0.99877437 -14.241028 57.225556
    Unten rechts KachelX + 1 60352 KachelY + 1 40004 -0.24850489 0.99877437 -14.238281 57.225556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99880032-0.99877437) × R
    2.59499999999413e-05 × 6371000     		dl = 165.327449999626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99880032-0.99877437) × R
    2.59499999999413e-05 × 6371000     		dr = 165.327449999626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24855282--0.24850489) × cos(0.99880032) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.541311412726879 × 6371000     		do = 165.295951852453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24855282--0.24850489) × cos(0.99877437) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.541333231880435 × 6371000     		du = 165.302614593476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99880032)-sin(0.99877437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541311412726879-0.541333231880435)×R²
    abs(-0.24850489--0.24855282)×2.18191535562573e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18191535562573e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18191535562573e-05×40589641000000     		ar = 27328.508983413m²