Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60350 / 42038
↖ ↑ ↗
← N 54.075506°
W 14.243774°		 ← 179.20 m → N 54.075506°
W 14.241028°		 →
↑
179.22 m
↓
↑
179.22 m
↓
N 54.073894°
W 14.243774°		 ← 179.21 m →
32 116 m²		 N 54.073894°
W 14.241028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460437774658203 y=0.320728302001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460437774658203 × 217)
    floor (0.460437774658203 × 131072)
    floor (60350.5)     		tx = 60350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320728302001953 × 217)
    floor (0.320728302001953 × 131072)
    floor (42038.5)     		ty = 42038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60350 / 42038 ti = "17/60350/42038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60350/42038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60350 ÷ 217
    60350 ÷ 131072     		x = 0.460433959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42038 ÷ 217
    42038 ÷ 131072     		y = 0.320724487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460433959960938 × 2 - 1) × π
    -0.079132080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24860076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320724487304688 × 2 - 1) × π
    0.358551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12642126727208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24860076} λ = -0.24860076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12642126727208))-π/2
    2×atan(3.08459777281073)-π/2
    2×1.25729597315514-π/2
    2.51459194631027-1.57079632675     		φ = 0.94379562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24860076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.243774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94379562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.075506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60350 KachelY 42038 -0.24860076 0.94379562 -14.243774 54.075506
    Oben rechts KachelX + 1 60351 KachelY 42038 -0.24855282 0.94379562 -14.241028 54.075506
    Unten links KachelX 60350 KachelY + 1 42039 -0.24860076 0.94376749 -14.243774 54.073894
    Unten rechts KachelX + 1 60351 KachelY + 1 42039 -0.24855282 0.94376749 -14.241028 54.073894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94379562-0.94376749) × R
    2.81299999999041e-05 × 6371000     		dl = 179.216229999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94379562-0.94376749) × R
    2.81299999999041e-05 × 6371000     		dr = 179.216229999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24860076--0.24855282) × cos(0.94379562) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.586718600260247 × 6371000     		do = 179.198962656236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24860076--0.24855282) × cos(0.94376749) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.586741379445821 × 6371000     		du = 179.205920005847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94379562)-sin(0.94376749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586718600260247-0.586741379445821)×R²
    abs(-0.24855282--0.24860076)×2.27791855736958e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.27791855736958e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.27791855736958e-05×40589641000000     		ar = 32115.9859442993m²