Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60350 / 39742
↖ ↑ ↗
← N 57.613050°
W 14.243774°		 ← 163.60 m → N 57.613050°
W 14.241028°		 →
↑
163.61 m
↓
↑
163.61 m
↓
N 57.611578°
W 14.243774°		 ← 163.60 m →
26 766 m²		 N 57.611578°
W 14.241028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460437774658203 y=0.303211212158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460437774658203 × 217)
    floor (0.460437774658203 × 131072)
    floor (60350.5)     		tx = 60350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303211212158203 × 217)
    floor (0.303211212158203 × 131072)
    floor (39742.5)     		ty = 39742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60350 / 39742 ti = "17/60350/39742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60350/39742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60350 ÷ 217
    60350 ÷ 131072     		x = 0.460433959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39742 ÷ 217
    39742 ÷ 131072     		y = 0.303207397460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460433959960938 × 2 - 1) × π
    -0.079132080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24860076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303207397460938 × 2 - 1) × π
    0.393585205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23648438879973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24860076} λ = -0.24860076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23648438879973))-π/2
    2×atan(3.4434862012245)-π/2
    2×1.28816686605233-π/2
    2.57633373210465-1.57079632675     		φ = 1.00553741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24860076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.243774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00553741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.613050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60350 KachelY 39742 -0.24860076 1.00553741 -14.243774 57.613050
    Oben rechts KachelX + 1 60351 KachelY 39742 -0.24855282 1.00553741 -14.241028 57.613050
    Unten links KachelX 60350 KachelY + 1 39743 -0.24860076 1.00551173 -14.243774 57.611578
    Unten rechts KachelX + 1 60351 KachelY + 1 39743 -0.24855282 1.00551173 -14.241028 57.611578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00553741-1.00551173) × R
    2.56800000000279e-05 × 6371000     		dl = 163.607280000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00553741-1.00551173) × R
    2.56800000000279e-05 × 6371000     		dr = 163.607280000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24860076--0.24855282) × cos(1.00553741) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.53563447623559 × 6371000     		do = 163.596556273755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24860076--0.24855282) × cos(1.00551173) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535656161533534 × 6371000     		du = 163.603179521926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00553741)-sin(1.00551173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53563447623559-0.535656161533534)×R²
    abs(-0.24855282--0.24860076)×2.16852979434412e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16852979434412e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16852979434412e-05×40589641000000     		ar = 26766.1293966015m²