Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60349 / 40651
↖ ↑ ↗
← N 56.250980°
W 14.246521°		 ← 169.68 m → N 56.250980°
W 14.243774°		 →
↑
169.66 m
↓
↑
169.66 m
↓
N 56.249454°
W 14.246521°		 ← 169.69 m →
28 789 m²		 N 56.249454°
W 14.243774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460430145263672 y=0.310146331787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460430145263672 × 217)
    floor (0.460430145263672 × 131072)
    floor (60349.5)     		tx = 60349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310146331787109 × 217)
    floor (0.310146331787109 × 131072)
    floor (40651.5)     		ty = 40651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60349 / 40651 ti = "17/60349/40651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60349/40651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60349 ÷ 217
    60349 ÷ 131072     		x = 0.460426330566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40651 ÷ 217
    40651 ÷ 131072     		y = 0.310142517089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460426330566406 × 2 - 1) × π
    -0.0791473388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24864870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310142517089844 × 2 - 1) × π
    0.379714965820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.1929097470451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24864870} λ = -0.24864870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1929097470451))-π/2
    2×atan(3.29665971096641)-π/2
    2×1.27628056836777-π/2
    2.55256113673554-1.57079632675     		φ = 0.98176481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24864870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.246521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98176481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.250980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60349 KachelY 40651 -0.24864870 0.98176481 -14.246521 56.250980
    Oben rechts KachelX + 1 60350 KachelY 40651 -0.24860076 0.98176481 -14.243774 56.250980
    Unten links KachelX 60349 KachelY + 1 40652 -0.24864870 0.98173818 -14.246521 56.249454
    Unten rechts KachelX + 1 60350 KachelY + 1 40652 -0.24860076 0.98173818 -14.243774 56.249454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98176481-0.98173818) × R
    2.66300000000275e-05 × 6371000     		dl = 169.659730000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98176481-0.98173818) × R
    2.66300000000275e-05 × 6371000     		dr = 169.659730000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24864870--0.24860076) × cos(0.98176481) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555556010024348 × 6371000     		do = 169.681105473121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24864870--0.24860076) × cos(0.98173818) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555578152116207 × 6371000     		du = 169.687868237912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98176481)-sin(0.98173818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555556010024348-0.555578152116207)×R²
    abs(-0.24860076--0.24864870)×2.2142091858357e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2142091858357e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2142091858357e-05×40589641000000     		ar = 28788.6242270295m²