Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60348 / 42036
↖ ↑ ↗
← N 54.078729°
W 14.249268°		 ← 179.19 m → N 54.078729°
W 14.246521°		 →
↑
179.22 m
↓
↑
179.22 m
↓
N 54.077117°
W 14.249268°		 ← 179.19 m →
32 113 m²		 N 54.077117°
W 14.246521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460422515869141 y=0.320713043212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460422515869141 × 217)
    floor (0.460422515869141 × 131072)
    floor (60348.5)     		tx = 60348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320713043212891 × 217)
    floor (0.320713043212891 × 131072)
    floor (42036.5)     		ty = 42036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60348 / 42036 ti = "17/60348/42036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60348/42036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60348 ÷ 217
    60348 ÷ 131072     		x = 0.460418701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42036 ÷ 217
    42036 ÷ 131072     		y = 0.320709228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460418701171875 × 2 - 1) × π
    -0.07916259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24869664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320709228515625 × 2 - 1) × π
    0.35858154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12651714107132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24869664} λ = -0.24869664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12651714107132))-π/2
    2×atan(3.08489351909527)-π/2
    2×1.25732409753401-π/2
    2.51464819506803-1.57079632675     		φ = 0.94385187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24869664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.249268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94385187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.078729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60348 KachelY 42036 -0.24869664 0.94385187 -14.249268 54.078729
    Oben rechts KachelX + 1 60349 KachelY 42036 -0.24864870 0.94385187 -14.246521 54.078729
    Unten links KachelX 60348 KachelY + 1 42037 -0.24869664 0.94382374 -14.249268 54.077117
    Unten rechts KachelX + 1 60349 KachelY + 1 42037 -0.24864870 0.94382374 -14.246521 54.077117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94385187-0.94382374) × R
    2.81300000000151e-05 × 6371000     		dl = 179.216230000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94385187-0.94382374) × R
    2.81300000000151e-05 × 6371000     		dr = 179.216230000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24869664--0.24864870) × cos(0.94385187) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.586673048594551 × 6371000     		do = 179.185050005033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24869664--0.24864870) × cos(0.94382374) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.586695828708479 × 6371000     		du = 179.192007638187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94385187)-sin(0.94382374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586673048594551-0.586695828708479)×R²
    abs(-0.24864870--0.24869664)×2.27801139279782e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.27801139279782e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.27801139279782e-05×40589641000000     		ar = 32113.4925966993m²