Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60347 / 39706
↖ ↑ ↗
← N 57.665973°
W 14.252014°		 ← 163.32 m → N 57.665973°
W 14.249268°		 →
↑
163.35 m
↓
↑
163.35 m
↓
N 57.664504°
W 14.252014°		 ← 163.33 m →
26 680 m²		 N 57.664504°
W 14.249268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460414886474609 y=0.302936553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460414886474609 × 217)
    floor (0.460414886474609 × 131072)
    floor (60347.5)     		tx = 60347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302936553955078 × 217)
    floor (0.302936553955078 × 131072)
    floor (39706.5)     		ty = 39706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60347 / 39706 ti = "17/60347/39706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60347/39706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60347 ÷ 217
    60347 ÷ 131072     		x = 0.460411071777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39706 ÷ 217
    39706 ÷ 131072     		y = 0.302932739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460411071777344 × 2 - 1) × π
    -0.0791778564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24874457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302932739257812 × 2 - 1) × π
    0.394134521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23821011718605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24874457} λ = -0.24874457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23821011718605))-π/2
    2×atan(3.4494338536501)-π/2
    2×1.28862870919845-π/2
    2.57725741839689-1.57079632675     		φ = 1.00646109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24874457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.252014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00646109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.665973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60347 KachelY 39706 -0.24874457 1.00646109 -14.252014 57.665973
    Oben rechts KachelX + 1 60348 KachelY 39706 -0.24869664 1.00646109 -14.249268 57.665973
    Unten links KachelX 60347 KachelY + 1 39707 -0.24874457 1.00643545 -14.252014 57.664504
    Unten rechts KachelX + 1 60348 KachelY + 1 39707 -0.24869664 1.00643545 -14.249268 57.664504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00646109-1.00643545) × R
    2.5640000000049e-05 × 6371000     		dl = 163.352440000312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00646109-1.00643545) × R
    2.5640000000049e-05 × 6371000     		dr = 163.352440000312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24874457--0.24869664) × cos(1.00646109) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.534854246324695 × 6371000     		do = 163.324178411834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24874457--0.24869664) × cos(1.00643545) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.534875910521723 × 6371000     		du = 163.330793835017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00646109)-sin(1.00643545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534854246324695-0.534875910521723)×R²
    abs(-0.24869664--0.24874457)×2.16641970280929e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16641970280929e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16641970280929e-05×40589641000000     		ar = 26679.9433788614m²