Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60346 / 84010
↖ ↑ ↗
← S 45.170420°
W 14.254761°		 ← 215.33 m → S 45.170420°
W 14.252014°		 →
↑
215.34 m
↓
↑
215.34 m
↓
S 45.172356°
W 14.254761°		 ← 215.32 m →
46 367 m²		 S 45.172356°
W 14.252014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460407257080078 y=0.640949249267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460407257080078 × 217)
    floor (0.460407257080078 × 131072)
    floor (60346.5)     		tx = 60346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640949249267578 × 217)
    floor (0.640949249267578 × 131072)
    floor (84010.5)     		ty = 84010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60346 / 84010 ti = "17/60346/84010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60346/84010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60346 ÷ 217
    60346 ÷ 131072     		x = 0.460403442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84010 ÷ 217
    84010 ÷ 131072     		y = 0.640945434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460403442382812 × 2 - 1) × π
    -0.079193115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24879251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640945434570312 × 2 - 1) × π
    -0.281890869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.885586283580917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24879251} λ = -0.24879251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885586283580917))-π/2
    2×atan(0.412472276652583)-π/2
    2×0.3912118868909-π/2
    0.782423773781799-1.57079632675     		φ = -0.78837255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24879251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.254761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78837255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.170420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60346 KachelY 84010 -0.24879251 -0.78837255 -14.254761 -45.170420
    Oben rechts KachelX + 1 60347 KachelY 84010 -0.24874457 -0.78837255 -14.252014 -45.170420
    Unten links KachelX 60346 KachelY + 1 84011 -0.24879251 -0.78840635 -14.254761 -45.172356
    Unten rechts KachelX + 1 60347 KachelY + 1 84011 -0.24874457 -0.78840635 -14.252014 -45.172356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78837255--0.78840635) × R
    3.38000000000838e-05 × 6371000     		dl = 215.339800000534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78837255--0.78840635) × R
    3.38000000000838e-05 × 6371000     		dr = 215.339800000534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24879251--0.24874457) × cos(-0.78837255) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.705000447475249 × 6371000     		do = 215.325283370442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24879251--0.24874457) × cos(-0.78840635) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.704976475880704 × 6371000     		du = 215.31796182844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78837255)-sin(-0.78840635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705000447475249-0.704976475880704)×R²
    abs(-0.24874457--0.24879251)×2.39715945449248e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39715945449248e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39715945449248e-05×40589641000000     		ar = 46367.3151507784m²