Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60345 / 34535
↖ ↑ ↗
← N 64.502368°
W 14.257508°		 ← 131.48 m → N 64.502368°
W 14.254761°		 →
↑
131.50 m
↓
↑
131.50 m
↓
N 64.501186°
W 14.257508°		 ← 131.48 m →
17 289 m²		 N 64.501186°
W 14.254761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460399627685547 y=0.263484954833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460399627685547 × 217)
    floor (0.460399627685547 × 131072)
    floor (60345.5)     		tx = 60345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263484954833984 × 217)
    floor (0.263484954833984 × 131072)
    floor (34535.5)     		ty = 34535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60345 / 34535 ti = "17/60345/34535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60345/34535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60345 ÷ 217
    60345 ÷ 131072     		x = 0.460395812988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34535 ÷ 217
    34535 ÷ 131072     		y = 0.263481140136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460395812988281 × 2 - 1) × π
    -0.0792083740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24884045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263481140136719 × 2 - 1) × π
    0.473037719726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.48609182512136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24884045} λ = -0.24884045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48609182512136))-π/2
    2×atan(4.41978841538477)-π/2
    2×1.34828751273318-π/2
    2.69657502546636-1.57079632675     		φ = 1.12577870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24884045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.257508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12577870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.502368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60345 KachelY 34535 -0.24884045 1.12577870 -14.257508 64.502368
    Oben rechts KachelX + 1 60346 KachelY 34535 -0.24879251 1.12577870 -14.254761 64.502368
    Unten links KachelX 60345 KachelY + 1 34536 -0.24884045 1.12575806 -14.257508 64.501186
    Unten rechts KachelX + 1 60346 KachelY + 1 34536 -0.24879251 1.12575806 -14.254761 64.501186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12577870-1.12575806) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dl = 131.497440000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12577870-1.12575806) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dr = 131.497440000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24884045--0.24879251) × cos(1.12577870) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430473790367106 × 6371000     		do = 131.477775973468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24884045--0.24879251) × cos(1.12575806) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430492420002935 × 6371000     		du = 131.483465943777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12577870)-sin(1.12575806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430473790367106-0.430492420002935)×R²
    abs(-0.24879251--0.24884045)×1.86296358287152e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86296358287152e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86296358287152e-05×40589641000000     		ar = 17289.3650663798m²