Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60344 / 84121
↖ ↑ ↗
← S 45.384948°
W 14.260254°		 ← 214.47 m → S 45.384948°
W 14.257508°		 →
↑
214.51 m
↓
↑
214.51 m
↓
S 45.386878°
W 14.260254°		 ← 214.46 m →
46 005 m²		 S 45.386878°
W 14.257508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460391998291016 y=0.641796112060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460391998291016 × 217)
    floor (0.460391998291016 × 131072)
    floor (60344.5)     		tx = 60344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641796112060547 × 217)
    floor (0.641796112060547 × 131072)
    floor (84121.5)     		ty = 84121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60344 / 84121 ti = "17/60344/84121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60344/84121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60344 ÷ 217
    60344 ÷ 131072     		x = 0.46038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84121 ÷ 217
    84121 ÷ 131072     		y = 0.641792297363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.0792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24888838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641792297363281 × 2 - 1) × π
    -0.283584594726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.890907279438744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24888838} λ = -0.24888838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890907279438744))-π/2
    2×atan(0.410283342197237)-π/2
    2×0.389339773659023-π/2
    0.778679547318046-1.57079632675     		φ = -0.79211678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24888838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.260254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79211678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.384948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60344 KachelY 84121 -0.24888838 -0.79211678 -14.260254 -45.384948
    Oben rechts KachelX + 1 60345 KachelY 84121 -0.24884045 -0.79211678 -14.257508 -45.384948
    Unten links KachelX 60344 KachelY + 1 84122 -0.24888838 -0.79215045 -14.260254 -45.386878
    Unten rechts KachelX + 1 60345 KachelY + 1 84122 -0.24884045 -0.79215045 -14.257508 -45.386878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79211678--0.79215045) × R
    3.36699999999857e-05 × 6371000     		dl = 214.511569999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79211678--0.79215045) × R
    3.36699999999857e-05 × 6371000     		dr = 214.511569999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24888838--0.24884045) × cos(-0.79211678) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.702340078295648 × 6371000     		do = 214.467992058725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24888838--0.24884045) × cos(-0.79215045) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.70231611019203 × 6371000     		du = 214.460673109949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79211678)-sin(-0.79215045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702340078295648-0.70231611019203)×R²
    abs(-0.24884045--0.24888838)×2.39681036174888e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39681036174888e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39681036174888e-05×40589641000000     		ar = 46005.0806959446m²