Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60344 / 40125
↖ ↑ ↗
← N 57.045212°
W 14.260254°		 ← 166.11 m → N 57.045212°
W 14.257508°		 →
↑
166.16 m
↓
↑
166.16 m
↓
N 57.043718°
W 14.260254°		 ← 166.12 m →
27 601 m²		 N 57.043718°
W 14.257508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460391998291016 y=0.306133270263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460391998291016 × 217)
    floor (0.460391998291016 × 131072)
    floor (60344.5)     		tx = 60344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306133270263672 × 217)
    floor (0.306133270263672 × 131072)
    floor (40125.5)     		ty = 40125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60344 / 40125 ti = "17/60344/40125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60344/40125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60344 ÷ 217
    60344 ÷ 131072     		x = 0.46038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40125 ÷ 217
    40125 ÷ 131072     		y = 0.306129455566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.0792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24888838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306129455566406 × 2 - 1) × π
    0.387741088867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.21812455624525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24888838} λ = -0.24888838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21812455624525))-π/2
    2×atan(3.38084120667751)-π/2
    2×1.28321155231913-π/2
    2.56642310463826-1.57079632675     		φ = 0.99562678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24888838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.260254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99562678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.045212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60344 KachelY 40125 -0.24888838 0.99562678 -14.260254 57.045212
    Oben rechts KachelX + 1 60345 KachelY 40125 -0.24884045 0.99562678 -14.257508 57.045212
    Unten links KachelX 60344 KachelY + 1 40126 -0.24888838 0.99560070 -14.260254 57.043718
    Unten rechts KachelX + 1 60345 KachelY + 1 40126 -0.24884045 0.99560070 -14.257508 57.043718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99562678-0.99560070) × R
    2.60800000000394e-05 × 6371000     		dl = 166.155680000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99562678-0.99560070) × R
    2.60800000000394e-05 × 6371000     		dr = 166.155680000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24888838--0.24884045) × cos(0.99562678) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.543977065231569 × 6371000     		do = 166.10994091256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24888838--0.24884045) × cos(0.99560070) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.543998948776784 × 6371000     		du = 166.11662331635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99562678)-sin(0.99560070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543977065231569-0.543998948776784)×R²
    abs(-0.24884045--0.24888838)×2.1883545214707e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.1883545214707e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.1883545214707e-05×40589641000000     		ar = 27600.6653482971m²