Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60343 / 82089
↖ ↑ ↗
← S 41.329389°
W 14.263001°		 ← 229.35 m → S 41.329389°
W 14.260254°		 →
↑
229.36 m
↓
↑
229.36 m
↓
S 41.331451°
W 14.263001°		 ← 229.34 m →
52 602 m²		 S 41.331451°
W 14.260254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460384368896484 y=0.626293182373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460384368896484 × 217)
    floor (0.460384368896484 × 131072)
    floor (60343.5)     		tx = 60343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626293182373047 × 217)
    floor (0.626293182373047 × 131072)
    floor (82089.5)     		ty = 82089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60343 / 82089 ti = "17/60343/82089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60343/82089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60343 ÷ 217
    60343 ÷ 131072     		x = 0.460380554199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82089 ÷ 217
    82089 ÷ 131072     		y = 0.626289367675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460380554199219 × 2 - 1) × π
    -0.0792388916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24893632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626289367675781 × 2 - 1) × π
    -0.252578735351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.793499499410789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24893632} λ = -0.24893632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793499499410789))-π/2
    2×atan(0.452259341454065)-π/2
    2×0.424731206932695-π/2
    0.849462413865389-1.57079632675     		φ = -0.72133391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24893632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.263001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72133391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.329389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60343 KachelY 82089 -0.24893632 -0.72133391 -14.263001 -41.329389
    Oben rechts KachelX + 1 60344 KachelY 82089 -0.24888838 -0.72133391 -14.260254 -41.329389
    Unten links KachelX 60343 KachelY + 1 82090 -0.24893632 -0.72136991 -14.263001 -41.331451
    Unten rechts KachelX + 1 60344 KachelY + 1 82090 -0.24888838 -0.72136991 -14.260254 -41.331451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72133391--0.72136991) × R
    3.5999999999925e-05 × 6371000     		dl = 229.355999999522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72133391--0.72136991) × R
    3.5999999999925e-05 × 6371000     		dr = 229.355999999522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24893632--0.24888838) × cos(-0.72133391) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.750925500744101 × 6371000     		do = 229.35197674962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24893632--0.24888838) × cos(-0.72136991) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.750901726328162 × 6371000     		du = 229.344715431039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72133391)-sin(-0.72136991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750925500744101-0.750901726328162)×R²
    abs(-0.24888838--0.24893632)×2.37744159387043e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37744159387043e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37744159387043e-05×40589641000000     		ar = 52602.4192713311m²