Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60343 / 34538
↖ ↑ ↗
← N 64.498821°
W 14.263001°		 ← 131.49 m → N 64.498821°
W 14.260254°		 →
↑
131.50 m
↓
↑
131.50 m
↓
N 64.497638°
W 14.263001°		 ← 131.50 m →
17 292 m²		 N 64.497638°
W 14.260254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460384368896484 y=0.263507843017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460384368896484 × 217)
    floor (0.460384368896484 × 131072)
    floor (60343.5)     		tx = 60343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263507843017578 × 217)
    floor (0.263507843017578 × 131072)
    floor (34538.5)     		ty = 34538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60343 / 34538 ti = "17/60343/34538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60343/34538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60343 ÷ 217
    60343 ÷ 131072     		x = 0.460380554199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34538 ÷ 217
    34538 ÷ 131072     		y = 0.263504028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460380554199219 × 2 - 1) × π
    -0.0792388916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24893632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263504028320312 × 2 - 1) × π
    0.472991943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4859480144225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24893632} λ = -0.24893632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4859480144225))-π/2
    2×atan(4.41915284822572)-π/2
    2×1.34825655735578-π/2
    2.69651311471155-1.57079632675     		φ = 1.12571679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24893632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.263001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12571679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.498821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60343 KachelY 34538 -0.24893632 1.12571679 -14.263001 64.498821
    Oben rechts KachelX + 1 60344 KachelY 34538 -0.24888838 1.12571679 -14.260254 64.498821
    Unten links KachelX 60343 KachelY + 1 34539 -0.24893632 1.12569615 -14.263001 64.497638
    Unten rechts KachelX + 1 60344 KachelY + 1 34539 -0.24888838 1.12569615 -14.260254 64.497638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12571679-1.12569615) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dl = 131.497440000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12571679-1.12569615) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dr = 131.497440000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24893632--0.24888838) × cos(1.12571679) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430529669698638 × 6371000     		do = 131.494842959652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24893632--0.24888838) × cos(1.12569615) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.43054829878435 × 6371000     		du = 131.500532761941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12571679)-sin(1.12569615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430529669698638-0.43054829878435)×R²
    abs(-0.24888838--0.24893632)×1.86290857120408e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86290857120408e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86290857120408e-05×40589641000000     		ar = 17291.6093201633m²