Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60342 / 84009
↖ ↑ ↗
← S 45.168484°
W 14.265747°		 ← 215.33 m → S 45.168484°
W 14.263001°		 →
↑
215.28 m
↓
↑
215.28 m
↓
S 45.170420°
W 14.265747°		 ← 215.33 m →
46 355 m²		 S 45.170420°
W 14.263001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460376739501953 y=0.640941619873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460376739501953 × 217)
    floor (0.460376739501953 × 131072)
    floor (60342.5)     		tx = 60342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640941619873047 × 217)
    floor (0.640941619873047 × 131072)
    floor (84009.5)     		ty = 84009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60342 / 84009 ti = "17/60342/84009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60342/84009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60342 ÷ 217
    60342 ÷ 131072     		x = 0.460372924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84009 ÷ 217
    84009 ÷ 131072     		y = 0.640937805175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460372924804688 × 2 - 1) × π
    -0.079254150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24898426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640937805175781 × 2 - 1) × π
    -0.281875610351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.885538346681297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24898426} λ = -0.24898426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885538346681297))-π/2
    2×atan(0.412492049768632)-π/2
    2×0.391228784945928-π/2
    0.782457569891856-1.57079632675     		φ = -0.78833876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24898426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.265747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78833876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.168484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60342 KachelY 84009 -0.24898426 -0.78833876 -14.265747 -45.168484
    Oben rechts KachelX + 1 60343 KachelY 84009 -0.24893632 -0.78833876 -14.263001 -45.168484
    Unten links KachelX 60342 KachelY + 1 84010 -0.24898426 -0.78837255 -14.265747 -45.170420
    Unten rechts KachelX + 1 60343 KachelY + 1 84010 -0.24893632 -0.78837255 -14.263001 -45.170420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78833876--0.78837255) × R
    3.37899999999225e-05 × 6371000     		dl = 215.276089999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78833876--0.78837255) × R
    3.37899999999225e-05 × 6371000     		dr = 215.276089999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24898426--0.24893632) × cos(-0.78833876) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.705024411172543 × 6371000     		do = 215.332602500546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24898426--0.24893632) × cos(-0.78837255) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.705000447475249 × 6371000     		du = 215.325283370567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78833876)-sin(-0.78837255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705024411172543-0.705000447475249)×R²
    abs(-0.24893632--0.24898426)×2.39636972938495e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39636972938495e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39636972938495e-05×40589641000000     		ar = 46355.1729031564m²