Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60342 / 39705
↖ ↑ ↗
← N 57.667442°
W 14.265747°		 ← 163.35 m → N 57.667442°
W 14.263001°		 →
↑
163.35 m
↓
↑
163.35 m
↓
N 57.665973°
W 14.265747°		 ← 163.36 m →
26 684 m²		 N 57.665973°
W 14.263001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460376739501953 y=0.302928924560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460376739501953 × 217)
    floor (0.460376739501953 × 131072)
    floor (60342.5)     		tx = 60342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302928924560547 × 217)
    floor (0.302928924560547 × 131072)
    floor (39705.5)     		ty = 39705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60342 / 39705 ti = "17/60342/39705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60342/39705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60342 ÷ 217
    60342 ÷ 131072     		x = 0.460372924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39705 ÷ 217
    39705 ÷ 131072     		y = 0.302925109863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460372924804688 × 2 - 1) × π
    -0.079254150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24898426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302925109863281 × 2 - 1) × π
    0.394149780273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.23825805408567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24898426} λ = -0.24898426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23825805408567))-π/2
    2×atan(3.44959921277786)-π/2
    2×1.28864152856595-π/2
    2.5772830571319-1.57079632675     		φ = 1.00648673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24898426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.265747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00648673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.667442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60342 KachelY 39705 -0.24898426 1.00648673 -14.265747 57.667442
    Oben rechts KachelX + 1 60343 KachelY 39705 -0.24893632 1.00648673 -14.263001 57.667442
    Unten links KachelX 60342 KachelY + 1 39706 -0.24898426 1.00646109 -14.265747 57.665973
    Unten rechts KachelX + 1 60343 KachelY + 1 39706 -0.24893632 1.00646109 -14.263001 57.665973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00648673-1.00646109) × R
    2.5640000000049e-05 × 6371000     		dl = 163.352440000312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00648673-1.00646109) × R
    2.5640000000049e-05 × 6371000     		dr = 163.352440000312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24898426--0.24893632) × cos(1.00648673) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.534832581776049 × 6371000     		do = 163.351637065142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24898426--0.24893632) × cos(1.00646109) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.534854246324695 × 6371000     		du = 163.358253975944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00648673)-sin(1.00646109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534832581776049-0.534854246324695)×R²
    abs(-0.24893632--0.24898426)×2.16645486462719e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16645486462719e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16645486462719e-05×40589641000000     		ar = 26684.4289383123m²