Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60342 / 34537
↖ ↑ ↗
← N 64.500004°
W 14.265747°		 ← 131.49 m → N 64.500004°
W 14.263001°		 →
↑
131.50 m
↓
↑
131.50 m
↓
N 64.498821°
W 14.265747°		 ← 131.49 m →
17 291 m²		 N 64.498821°
W 14.263001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460376739501953 y=0.263500213623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460376739501953 × 217)
    floor (0.460376739501953 × 131072)
    floor (60342.5)     		tx = 60342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263500213623047 × 217)
    floor (0.263500213623047 × 131072)
    floor (34537.5)     		ty = 34537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60342 / 34537 ti = "17/60342/34537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60342/34537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60342 ÷ 217
    60342 ÷ 131072     		x = 0.460372924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34537 ÷ 217
    34537 ÷ 131072     		y = 0.263496398925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460372924804688 × 2 - 1) × π
    -0.079254150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24898426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263496398925781 × 2 - 1) × π
    0.473007202148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.48599595132212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24898426} λ = -0.24898426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48599595132212))-π/2
    2×atan(4.41936469378978)-π/2
    2×1.34826687626137-π/2
    2.69653375252273-1.57079632675     		φ = 1.12573743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24898426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.265747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12573743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.500004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60342 KachelY 34537 -0.24898426 1.12573743 -14.265747 64.500004
    Oben rechts KachelX + 1 60343 KachelY 34537 -0.24893632 1.12573743 -14.263001 64.500004
    Unten links KachelX 60342 KachelY + 1 34538 -0.24898426 1.12571679 -14.265747 64.498821
    Unten rechts KachelX + 1 60343 KachelY + 1 34538 -0.24893632 1.12571679 -14.263001 64.498821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12573743-1.12571679) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dl = 131.497440000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12573743-1.12571679) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dr = 131.497440000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24898426--0.24893632) × cos(1.12573743) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.430511040429516 × 6371000     		do = 131.489153101421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24898426--0.24893632) × cos(1.12571679) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.430529669698638 × 6371000     		du = 131.494842959728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12573743)-sin(1.12571679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430511040429516-0.430529669698638)×R²
    abs(-0.24893632--0.24898426)×1.86292691217727e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86292691217727e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86292691217727e-05×40589641000000     		ar = 17290.8611220886m²