Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60340 / 30131
↖ ↑ ↗
← N 69.237658°
W 14.271240°		 ← 108.27 m → N 69.237658°
W 14.268493°		 →
↑
108.31 m
↓
↑
108.31 m
↓
N 69.236684°
W 14.271240°		 ← 108.28 m →
11 727 m²		 N 69.236684°
W 14.268493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460361480712891 y=0.229885101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460361480712891 × 217)
    floor (0.460361480712891 × 131072)
    floor (60340.5)     		tx = 60340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229885101318359 × 217)
    floor (0.229885101318359 × 131072)
    floor (30131.5)     		ty = 30131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60340 / 30131 ti = "17/60340/30131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60340/30131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60340 ÷ 217
    60340 ÷ 131072     		x = 0.460357666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30131 ÷ 217
    30131 ÷ 131072     		y = 0.229881286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460357666015625 × 2 - 1) × π
    -0.07928466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24908013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229881286621094 × 2 - 1) × π
    0.540237426757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.69720593104809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24908013} λ = -0.24908013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69720593104809))-π/2
    2×atan(5.45867415245369)-π/2
    2×1.38961071172361-π/2
    2.77922142344722-1.57079632675     		φ = 1.20842510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24908013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.271240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20842510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.237658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60340 KachelY 30131 -0.24908013 1.20842510 -14.271240 69.237658
    Oben rechts KachelX + 1 60341 KachelY 30131 -0.24903219 1.20842510 -14.268493 69.237658
    Unten links KachelX 60340 KachelY + 1 30132 -0.24908013 1.20840810 -14.271240 69.236684
    Unten rechts KachelX + 1 60341 KachelY + 1 30132 -0.24903219 1.20840810 -14.268493 69.236684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20842510-1.20840810) × R
    1.69999999999337e-05 × 6371000     		dl = 108.306999999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20842510-1.20840810) × R
    1.69999999999337e-05 × 6371000     		dr = 108.306999999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24908013--0.24903219) × cos(1.20842510) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.354492464452367 × 6371000     		do = 108.271123279842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24908013--0.24903219) × cos(1.20840810) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.354508360401952 × 6371000     		du = 108.275978312007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20842510)-sin(1.20840810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354492464452367-0.354508360401952)×R²
    abs(-0.24903219--0.24908013)×1.58959495857314e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58959495857314e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58959495857314e-05×40589641000000     		ar = 11726.7834663723m²