Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60337 / 82148
↖ ↑ ↗
← S 41.450961°
W 14.279480°		 ← 228.92 m → S 41.450961°
W 14.276733°		 →
↑
228.91 m
↓
↑
228.91 m
↓
S 41.453020°
W 14.279480°		 ← 228.92 m →
52 402 m²		 S 41.453020°
W 14.276733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460338592529297 y=0.626743316650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460338592529297 × 217)
    floor (0.460338592529297 × 131072)
    floor (60337.5)     		tx = 60337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626743316650391 × 217)
    floor (0.626743316650391 × 131072)
    floor (82148.5)     		ty = 82148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60337 / 82148 ti = "17/60337/82148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60337/82148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60337 ÷ 217
    60337 ÷ 131072     		x = 0.460334777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82148 ÷ 217
    82148 ÷ 131072     		y = 0.626739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460334777832031 × 2 - 1) × π
    -0.0793304443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24922394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.25347900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.796327776488373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24922394} λ = -0.24922394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.796327776488373))-π/2
    2×atan(0.450982033866841)-π/2
    2×0.423670286121933-π/2
    0.847340572243866-1.57079632675     		φ = -0.72345575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24922394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.279480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72345575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.450961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60337 KachelY 82148 -0.24922394 -0.72345575 -14.279480 -41.450961
    Oben rechts KachelX + 1 60338 KachelY 82148 -0.24917600 -0.72345575 -14.276733 -41.450961
    Unten links KachelX 60337 KachelY + 1 82149 -0.24922394 -0.72349168 -14.279480 -41.453020
    Unten rechts KachelX + 1 60338 KachelY + 1 82149 -0.24917600 -0.72349168 -14.276733 -41.453020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72345575--0.72349168) × R
    3.59300000000173e-05 × 6371000     		dl = 228.91003000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72345575--0.72349168) × R
    3.59300000000173e-05 × 6371000     		dr = 228.91003000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24922394--0.24917600) × cos(-0.72345575) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.749522575990363 × 6371000     		do = 228.923487418545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24922394--0.24917600) × cos(-0.72349168) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.74949879060892 × 6371000     		du = 228.916222750817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72345575)-sin(-0.72349168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749522575990363-0.74949879060892)×R²
    abs(-0.24917600--0.24922394)×2.37853814429867e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37853814429867e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37853814429867e-05×40589641000000     		ar = 52402.0509007404m²