Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60337 / 39889
↖ ↑ ↗
← N 57.396144°
W 14.279480°		 ← 164.57 m → N 57.396144°
W 14.276733°		 →
↑
164.56 m
↓
↑
164.56 m
↓
N 57.394664°
W 14.279480°		 ← 164.58 m →
27 083 m²		 N 57.394664°
W 14.276733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460338592529297 y=0.304332733154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460338592529297 × 217)
    floor (0.460338592529297 × 131072)
    floor (60337.5)     		tx = 60337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304332733154297 × 217)
    floor (0.304332733154297 × 131072)
    floor (39889.5)     		ty = 39889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60337 / 39889 ti = "17/60337/39889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60337/39889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60337 ÷ 217
    60337 ÷ 131072     		x = 0.460334777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39889 ÷ 217
    39889 ÷ 131072     		y = 0.304328918457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460334777832031 × 2 - 1) × π
    -0.0793304443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24922394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304328918457031 × 2 - 1) × π
    0.391342163085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.22943766455558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24922394} λ = -0.24922394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22943766455558))-π/2
    2×atan(3.41930619848911)-π/2
    2×1.2862740100802-π/2
    2.5725480201604-1.57079632675     		φ = 1.00175169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24922394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.279480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00175169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.396144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60337 KachelY 39889 -0.24922394 1.00175169 -14.279480 57.396144
    Oben rechts KachelX + 1 60338 KachelY 39889 -0.24917600 1.00175169 -14.276733 57.396144
    Unten links KachelX 60337 KachelY + 1 39890 -0.24922394 1.00172586 -14.279480 57.394664
    Unten rechts KachelX + 1 60338 KachelY + 1 39890 -0.24917600 1.00172586 -14.276733 57.394664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00175169-1.00172586) × R
    2.58300000000045e-05 × 6371000     		dl = 164.562930000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00175169-1.00172586) × R
    2.58300000000045e-05 × 6371000     		dr = 164.562930000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24922394--0.24917600) × cos(1.00175169) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.538827481376158 × 6371000     		do = 164.571782231637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24922394--0.24917600) × cos(1.00172586) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.538849240805185 × 6371000     		du = 164.578428121349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00175169)-sin(1.00172586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538827481376158-0.538849240805185)×R²
    abs(-0.24917600--0.24922394)×2.17594290270462e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17594290270462e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17594290270462e-05×40589641000000     		ar = 27082.9615146019m²