Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60337 / 39694
↖ ↑ ↗
← N 57.683597°
W 14.279480°		 ← 163.28 m → N 57.683597°
W 14.276733°		 →
↑
163.29 m
↓
↑
163.29 m
↓
N 57.682128°
W 14.279480°		 ← 163.29 m →
26 662 m²		 N 57.682128°
W 14.276733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460338592529297 y=0.302845001220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460338592529297 × 217)
    floor (0.460338592529297 × 131072)
    floor (60337.5)     		tx = 60337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302845001220703 × 217)
    floor (0.302845001220703 × 131072)
    floor (39694.5)     		ty = 39694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60337 / 39694 ti = "17/60337/39694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60337/39694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60337 ÷ 217
    60337 ÷ 131072     		x = 0.460334777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39694 ÷ 217
    39694 ÷ 131072     		y = 0.302841186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460334777832031 × 2 - 1) × π
    -0.0793304443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24922394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302841186523438 × 2 - 1) × π
    0.394317626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23878535998149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24922394} λ = -0.24922394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23878535998149))-π/2
    2×atan(3.45141868644841)-π/2
    2×1.28878250734186-π/2
    2.57756501468371-1.57079632675     		φ = 1.00676869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24922394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.279480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00676869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.683597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60337 KachelY 39694 -0.24922394 1.00676869 -14.279480 57.683597
    Oben rechts KachelX + 1 60338 KachelY 39694 -0.24917600 1.00676869 -14.276733 57.683597
    Unten links KachelX 60337 KachelY + 1 39695 -0.24922394 1.00674306 -14.279480 57.682128
    Unten rechts KachelX + 1 60338 KachelY + 1 39695 -0.24917600 1.00674306 -14.276733 57.682128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00676869-1.00674306) × R
    2.56299999998877e-05 × 6371000     		dl = 163.288729999284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00676869-1.00674306) × R
    2.56299999998877e-05 × 6371000     		dr = 163.288729999284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24922394--0.24917600) × cos(1.00676869) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.534594316146911 × 6371000     		do = 163.278864608952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24922394--0.24917600) × cos(1.00674306) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.534615976110371 × 6371000     		du = 163.28548011932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00676869)-sin(1.00674306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534594316146911-0.534615976110371)×R²
    abs(-0.24917600--0.24922394)×2.16599634599302e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16599634599302e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16599634599302e-05×40589641000000     		ar = 26662.1385582224m²