Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60336 / 82512
↖ ↑ ↗
← S 42.195969°
W 14.282227°		 ← 226.28 m → S 42.195969°
W 14.279480°		 →
↑
226.23 m
↓
↑
226.23 m
↓
S 42.198004°
W 14.282227°		 ← 226.27 m →
51 190 m²		 S 42.198004°
W 14.279480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460330963134766 y=0.629520416259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460330963134766 × 217)
    floor (0.460330963134766 × 131072)
    floor (60336.5)     		tx = 60336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629520416259766 × 217)
    floor (0.629520416259766 × 131072)
    floor (82512.5)     		ty = 82512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60336 / 82512 ti = "17/60336/82512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60336/82512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60336 ÷ 217
    60336 ÷ 131072     		x = 0.4603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82512 ÷ 217
    82512 ÷ 131072     		y = 0.6295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24927188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6295166015625 × 2 - 1) × π
    -0.259033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.813776807950073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24927188} λ = -0.24927188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813776807950073))-π/2
    2×atan(0.443181091540834)-π/2
    2×0.417168870298557-π/2
    0.834337740597114-1.57079632675     		φ = -0.73645859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24927188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.282227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73645859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.195969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60336 KachelY 82512 -0.24927188 -0.73645859 -14.282227 -42.195969
    Oben rechts KachelX + 1 60337 KachelY 82512 -0.24922394 -0.73645859 -14.279480 -42.195969
    Unten links KachelX 60336 KachelY + 1 82513 -0.24927188 -0.73649410 -14.282227 -42.198004
    Unten rechts KachelX + 1 60337 KachelY + 1 82513 -0.24922394 -0.73649410 -14.279480 -42.198004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73645859--0.73649410) × R
    3.55100000000164e-05 × 6371000     		dl = 226.234210000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73645859--0.73649410) × R
    3.55100000000164e-05 × 6371000     		dr = 226.234210000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24927188--0.24922394) × cos(-0.73645859) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.740851852913124 × 6371000     		do = 226.275225406345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24927188--0.24922394) × cos(-0.73649410) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.740828001498708 × 6371000     		du = 226.267940570447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73645859)-sin(-0.73649410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740851852913124-0.740828001498708)×R²
    abs(-0.24922394--0.24927188)×2.38514144158541e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38514144158541e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38514144158541e-05×40589641000000     		ar = 51190.3728282494m²