Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60336 / 39760
↖ ↑ ↗
← N 57.586559°
W 14.282227°		 ← 163.72 m → N 57.586559°
W 14.279480°		 →
↑
163.73 m
↓
↑
163.73 m
↓
N 57.585087°
W 14.282227°		 ← 163.72 m →
26 806 m²		 N 57.585087°
W 14.279480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460330963134766 y=0.303348541259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460330963134766 × 217)
    floor (0.460330963134766 × 131072)
    floor (60336.5)     		tx = 60336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303348541259766 × 217)
    floor (0.303348541259766 × 131072)
    floor (39760.5)     		ty = 39760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60336 / 39760 ti = "17/60336/39760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60336/39760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60336 ÷ 217
    60336 ÷ 131072     		x = 0.4603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39760 ÷ 217
    39760 ÷ 131072     		y = 0.3033447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24927188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3033447265625 × 2 - 1) × π
    0.393310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23562152460657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24927188} λ = -0.24927188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23562152460657))-π/2
    2×atan(3.44051622181054)-π/2
    2×1.28793569194199-π/2
    2.57587138388399-1.57079632675     		φ = 1.00507506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24927188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.282227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00507506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.586559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60336 KachelY 39760 -0.24927188 1.00507506 -14.282227 57.586559
    Oben rechts KachelX + 1 60337 KachelY 39760 -0.24922394 1.00507506 -14.279480 57.586559
    Unten links KachelX 60336 KachelY + 1 39761 -0.24927188 1.00504936 -14.282227 57.585087
    Unten rechts KachelX + 1 60337 KachelY + 1 39761 -0.24922394 1.00504936 -14.279480 57.585087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00507506-1.00504936) × R
    2.57000000001284e-05 × 6371000     		dl = 163.734700000818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00507506-1.00504936) × R
    2.57000000001284e-05 × 6371000     		dr = 163.734700000818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24927188--0.24922394) × cos(1.00507506) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.536024850402647 × 6371000     		do = 163.715786592605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24927188--0.24922394) × cos(1.00504936) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.536046546222246 × 6371000     		du = 163.722413054361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00507506)-sin(1.00504936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536024850402647-0.536046546222246)×R²
    abs(-0.24922394--0.24927188)×2.16958195983219e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16958195983219e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16958195983219e-05×40589641000000     		ar = 26806.4976954864m²