Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60335 / 39689
↖ ↑ ↗
← N 57.690938°
W 14.284973°		 ← 163.21 m → N 57.690938°
W 14.282227°		 →
↑
163.23 m
↓
↑
163.23 m
↓
N 57.689470°
W 14.284973°		 ← 163.22 m →
26 641 m²		 N 57.689470°
W 14.282227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460323333740234 y=0.302806854248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460323333740234 × 217)
    floor (0.460323333740234 × 131072)
    floor (60335.5)     		tx = 60335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302806854248047 × 217)
    floor (0.302806854248047 × 131072)
    floor (39689.5)     		ty = 39689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60335 / 39689 ti = "17/60335/39689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60335/39689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60335 ÷ 217
    60335 ÷ 131072     		x = 0.460319519042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39689 ÷ 217
    39689 ÷ 131072     		y = 0.302803039550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460319519042969 × 2 - 1) × π
    -0.0793609619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24931981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302803039550781 × 2 - 1) × π
    0.394393920898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.23902504447959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24931981} λ = -0.24931981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23902504447959))-π/2
    2×atan(3.45224603715162)-π/2
    2×1.28884656783882-π/2
    2.57769313567764-1.57079632675     		φ = 1.00689681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24931981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.284973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00689681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.690938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60335 KachelY 39689 -0.24931981 1.00689681 -14.284973 57.690938
    Oben rechts KachelX + 1 60336 KachelY 39689 -0.24927188 1.00689681 -14.282227 57.690938
    Unten links KachelX 60335 KachelY + 1 39690 -0.24931981 1.00687119 -14.284973 57.689470
    Unten rechts KachelX + 1 60336 KachelY + 1 39690 -0.24927188 1.00687119 -14.282227 57.689470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00689681-1.00687119) × R
    2.56199999999485e-05 × 6371000     		dl = 163.225019999672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00689681-1.00687119) × R
    2.56199999999485e-05 × 6371000     		dr = 163.225019999672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24931981--0.24927188) × cos(1.00689681) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.534486036417615 × 6371000     		do = 163.211741087142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24931981--0.24927188) × cos(1.00687119) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.534507689684752 × 6371000     		du = 163.218353172751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00689681)-sin(1.00687119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534486036417615-0.534507689684752)×R²
    abs(-0.24927188--0.24931981)×2.16532671373226e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16532671373226e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16532671373226e-05×40589641000000     		ar = 26640.7793335438m²