Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60335 / 30127
↖ ↑ ↗
← N 69.241552°
W 14.284973°		 ← 108.23 m → N 69.241552°
W 14.282227°		 →
↑
108.24 m
↓
↑
108.24 m
↓
N 69.240578°
W 14.284973°		 ← 108.23 m →
11 715 m²		 N 69.240578°
W 14.282227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460323333740234 y=0.229854583740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460323333740234 × 217)
    floor (0.460323333740234 × 131072)
    floor (60335.5)     		tx = 60335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229854583740234 × 217)
    floor (0.229854583740234 × 131072)
    floor (30127.5)     		ty = 30127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60335 / 30127 ti = "17/60335/30127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60335/30127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60335 ÷ 217
    60335 ÷ 131072     		x = 0.460319519042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30127 ÷ 217
    30127 ÷ 131072     		y = 0.229850769042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460319519042969 × 2 - 1) × π
    -0.0793609619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24931981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229850769042969 × 2 - 1) × π
    0.540298461914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.69739767864657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24931981} λ = -0.24931981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69739767864657))-π/2
    2×atan(5.45972094046964)-π/2
    2×1.38964469521662-π/2
    2.77928939043325-1.57079632675     		φ = 1.20849306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24931981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.284973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20849306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.241552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60335 KachelY 30127 -0.24931981 1.20849306 -14.284973 69.241552
    Oben rechts KachelX + 1 60336 KachelY 30127 -0.24927188 1.20849306 -14.282227 69.241552
    Unten links KachelX 60335 KachelY + 1 30128 -0.24931981 1.20847607 -14.284973 69.240578
    Unten rechts KachelX + 1 60336 KachelY + 1 30128 -0.24927188 1.20847607 -14.282227 69.240578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20849306-1.20847607) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dl = 108.243289999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20849306-1.20847607) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dr = 108.243289999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24931981--0.24927188) × cos(1.20849306) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.354428917032905 × 6371000     		do = 108.229133595873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24931981--0.24927188) × cos(1.20847607) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.354444804041246 × 6371000     		du = 108.233984884991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20849306)-sin(1.20847607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354428917032905-0.354444804041246)×R²
    abs(-0.24927188--0.24931981)×1.58870083411533e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.58870083411533e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.58870083411533e-05×40589641000000     		ar = 11715.3400542004m²