Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60334 / 30172
↖ ↑ ↗
← N 69.197702°
W 14.287720°		 ← 108.47 m → N 69.197702°
W 14.284973°		 →
↑
108.43 m
↓
↑
108.43 m
↓
N 69.196727°
W 14.287720°		 ← 108.48 m →
11 762 m²		 N 69.196727°
W 14.284973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460315704345703 y=0.230197906494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460315704345703 × 217)
    floor (0.460315704345703 × 131072)
    floor (60334.5)     		tx = 60334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230197906494141 × 217)
    floor (0.230197906494141 × 131072)
    floor (30172.5)     		ty = 30172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60334 / 30172 ti = "17/60334/30172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60334/30172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60334 ÷ 217
    60334 ÷ 131072     		x = 0.460311889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30172 ÷ 217
    30172 ÷ 131072     		y = 0.230194091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460311889648438 × 2 - 1) × π
    -0.079376220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24936775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230194091796875 × 2 - 1) × π
    0.53961181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69524051816367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24936775} λ = -0.24936775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69524051816367))-π/2
    2×atan(5.4479561400526)-π/2
    2×1.38926202941824-π/2
    2.77852405883649-1.57079632675     		φ = 1.20772773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24936775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.287720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20772773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.197702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60334 KachelY 30172 -0.24936775 1.20772773 -14.287720 69.197702
    Oben rechts KachelX + 1 60335 KachelY 30172 -0.24931981 1.20772773 -14.284973 69.197702
    Unten links KachelX 60334 KachelY + 1 30173 -0.24936775 1.20771071 -14.287720 69.196727
    Unten rechts KachelX + 1 60335 KachelY + 1 30173 -0.24931981 1.20771071 -14.284973 69.196727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20772773-1.20771071) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dl = 108.434420000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20772773-1.20771071) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dr = 108.434420000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24936775--0.24931981) × cos(1.20772773) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.355144460205279 × 6371000     		do = 108.47025956509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24936775--0.24931981) × cos(1.20771071) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.355160370644403 × 6371000     		du = 108.475119022733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20772773)-sin(1.20771071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355144460205279-0.355160370644403)×R²
    abs(-0.24931981--0.24936775)×1.59104391235232e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.59104391235232e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.59104391235232e-05×40589641000000     		ar = 11762.1731497473m²