Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60333 / 82632
↖ ↑ ↗
← S 42.439674°
W 14.290466°		 ← 225.40 m → S 42.439674°
W 14.287720°		 →
↑
225.34 m
↓
↑
225.34 m
↓
S 42.441701°
W 14.290466°		 ← 225.39 m →
50 791 m²		 S 42.441701°
W 14.287720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460308074951172 y=0.630435943603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460308074951172 × 217)
    floor (0.460308074951172 × 131072)
    floor (60333.5)     		tx = 60333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630435943603516 × 217)
    floor (0.630435943603516 × 131072)
    floor (82632.5)     		ty = 82632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60333 / 82632 ti = "17/60333/82632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60333/82632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60333 ÷ 217
    60333 ÷ 131072     		x = 0.460304260253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82632 ÷ 217
    82632 ÷ 131072     		y = 0.63043212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460304260253906 × 2 - 1) × π
    -0.0793914794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24941569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63043212890625 × 2 - 1) × π
    -0.2608642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.81952923590448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24941569} λ = -0.24941569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81952923590448))-π/2
    2×atan(0.440639042727105)-π/2
    2×0.415042139464929-π/2
    0.830084278929857-1.57079632675     		φ = -0.74071205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24941569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.290466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74071205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.439674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60333 KachelY 82632 -0.24941569 -0.74071205 -14.290466 -42.439674
    Oben rechts KachelX + 1 60334 KachelY 82632 -0.24936775 -0.74071205 -14.287720 -42.439674
    Unten links KachelX 60333 KachelY + 1 82633 -0.24941569 -0.74074742 -14.290466 -42.441701
    Unten rechts KachelX + 1 60334 KachelY + 1 82633 -0.24936775 -0.74074742 -14.287720 -42.441701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74071205--0.74074742) × R
    3.53700000000901e-05 × 6371000     		dl = 225.342270000574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74071205--0.74074742) × R
    3.53700000000901e-05 × 6371000     		dr = 225.342270000574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24941569--0.24936775) × cos(-0.74071205) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.7379882448553 × 6371000     		do = 225.400605796214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24941569--0.24936775) × cos(-0.74074742) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.737964376237808 × 6371000     		du = 225.393315706054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74071205)-sin(-0.74074742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7379882448553-0.737964376237808)×R²
    abs(-0.24936775--0.24941569)×2.38686174915959e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38686174915959e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38686174915959e-05×40589641000000     		ar = 50791.4627920505m²