Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60333 / 82130
↖ ↑ ↗
← S 41.413895°
W 14.290466°		 ← 229.05 m → S 41.413895°
W 14.287720°		 →
↑
229.04 m
↓
↑
229.04 m
↓
S 41.415955°
W 14.290466°		 ← 229.05 m →
52 461 m²		 S 41.415955°
W 14.287720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460308074951172 y=0.626605987548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460308074951172 × 217)
    floor (0.460308074951172 × 131072)
    floor (60333.5)     		tx = 60333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626605987548828 × 217)
    floor (0.626605987548828 × 131072)
    floor (82130.5)     		ty = 82130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60333 / 82130 ti = "17/60333/82130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60333/82130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60333 ÷ 217
    60333 ÷ 131072     		x = 0.460304260253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82130 ÷ 217
    82130 ÷ 131072     		y = 0.626602172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460304260253906 × 2 - 1) × π
    -0.0793914794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24941569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626602172851562 × 2 - 1) × π
    -0.253204345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.795464912295212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24941569} λ = -0.24941569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795464912295212))-π/2
    2×atan(0.451371338049789)-π/2
    2×0.423993746565626-π/2
    0.847987493131252-1.57079632675     		φ = -0.72280883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24941569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.290466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72280883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.413895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60333 KachelY 82130 -0.24941569 -0.72280883 -14.290466 -41.413895
    Oben rechts KachelX + 1 60334 KachelY 82130 -0.24936775 -0.72280883 -14.287720 -41.413895
    Unten links KachelX 60333 KachelY + 1 82131 -0.24941569 -0.72284478 -14.290466 -41.415955
    Unten rechts KachelX + 1 60334 KachelY + 1 82131 -0.24936775 -0.72284478 -14.287720 -41.415955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72280883--0.72284478) × R
    3.59500000000068e-05 × 6371000     		dl = 229.037450000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72280883--0.72284478) × R
    3.59500000000068e-05 × 6371000     		dr = 229.037450000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24941569--0.24936775) × cos(-0.72280883) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.749950666434623 × 6371000     		do = 229.05423725927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24941569--0.24936775) × cos(-0.72284478) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.749926885249245 × 6371000     		du = 229.046973873128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72280883)-sin(-0.72284478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749950666434623-0.749926885249245)×R²
    abs(-0.24936775--0.24941569)×2.37811853781578e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37811853781578e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37811853781578e-05×40589641000000     		ar = 52461.1666254569m²