Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60332 / 82085
↖ ↑ ↗
← S 41.321139°
W 14.293213°		 ← 229.38 m → S 41.321139°
W 14.290466°		 →
↑
229.36 m
↓
↑
229.36 m
↓
S 41.323201°
W 14.293213°		 ← 229.37 m →
52 609 m²		 S 41.323201°
W 14.290466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460300445556641 y=0.626262664794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460300445556641 × 217)
    floor (0.460300445556641 × 131072)
    floor (60332.5)     		tx = 60332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626262664794922 × 217)
    floor (0.626262664794922 × 131072)
    floor (82085.5)     		ty = 82085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60332 / 82085 ti = "17/60332/82085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60332/82085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60332 ÷ 217
    60332 ÷ 131072     		x = 0.460296630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82085 ÷ 217
    82085 ÷ 131072     		y = 0.626258850097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460296630859375 × 2 - 1) × π
    -0.07940673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24946363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626258850097656 × 2 - 1) × π
    -0.252517700195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.793307751812309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24946363} λ = -0.24946363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793307751812309))-π/2
    2×atan(0.452346069411352)-π/2
    2×0.424803205571375-π/2
    0.849606411142749-1.57079632675     		φ = -0.72118992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24946363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.293213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72118992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.321139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60332 KachelY 82085 -0.24946363 -0.72118992 -14.293213 -41.321139
    Oben rechts KachelX + 1 60333 KachelY 82085 -0.24941569 -0.72118992 -14.290466 -41.321139
    Unten links KachelX 60332 KachelY + 1 82086 -0.24946363 -0.72122592 -14.293213 -41.323201
    Unten rechts KachelX + 1 60333 KachelY + 1 82086 -0.24941569 -0.72122592 -14.290466 -41.323201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72118992--0.72122592) × R
    3.5999999999925e-05 × 6371000     		dl = 229.355999999522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72118992--0.72122592) × R
    3.5999999999925e-05 × 6371000     		dr = 229.355999999522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24946363--0.24941569) × cos(-0.72118992) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.751020582072766 × 6371000     		do = 229.381017034788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24946363--0.24941569) × cos(-0.72122592) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.750996811549539 × 6371000     		du = 229.373756905141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72118992)-sin(-0.72122592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751020582072766-0.750996811549539)×R²
    abs(-0.24941569--0.24946363)×2.37705232264407e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37705232264407e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37705232264407e-05×40589641000000     		ar = 52609.0799715063m²