Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60332 / 40317
↖ ↑ ↗
← N 56.757240°
W 14.293213°		 ← 167.43 m → N 56.757240°
W 14.290466°		 →
↑
167.43 m
↓
↑
167.43 m
↓
N 56.755734°
W 14.293213°		 ← 167.44 m →
28 033 m²		 N 56.755734°
W 14.290466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460300445556641 y=0.307598114013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460300445556641 × 217)
    floor (0.460300445556641 × 131072)
    floor (60332.5)     		tx = 60332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307598114013672 × 217)
    floor (0.307598114013672 × 131072)
    floor (40317.5)     		ty = 40317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60332 / 40317 ti = "17/60332/40317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60332/40317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60332 ÷ 217
    60332 ÷ 131072     		x = 0.460296630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40317 ÷ 217
    40317 ÷ 131072     		y = 0.307594299316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460296630859375 × 2 - 1) × π
    -0.07940673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24946363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307594299316406 × 2 - 1) × π
    0.384811401367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.2089206715182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24946363} λ = -0.24946363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2089206715182))-π/2
    2×atan(3.34986709366859)-π/2
    2×1.28069852017049-π/2
    2.56139704034098-1.57079632675     		φ = 0.99060071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24946363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.293213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99060071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.757240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60332 KachelY 40317 -0.24946363 0.99060071 -14.293213 56.757240
    Oben rechts KachelX + 1 60333 KachelY 40317 -0.24941569 0.99060071 -14.290466 56.757240
    Unten links KachelX 60332 KachelY + 1 40318 -0.24946363 0.99057443 -14.293213 56.755734
    Unten rechts KachelX + 1 60333 KachelY + 1 40318 -0.24941569 0.99057443 -14.290466 56.755734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99060071-0.99057443) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dl = 167.429880000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99060071-0.99057443) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dr = 167.429880000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24946363--0.24941569) × cos(0.99060071) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548187552448134 × 6371000     		do = 167.430588865247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24946363--0.24941569) × cos(0.99057443) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548209531679565 × 6371000     		du = 167.437301888272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99060071)-sin(0.99057443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548187552448134-0.548209531679565)×R²
    abs(-0.24941569--0.24946363)×2.19792314304357e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19792314304357e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19792314304357e-05×40589641000000     		ar = 28033.4453841752m²