Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60332 / 39796
↖ ↑ ↗
← N 57.533520°
W 14.293213°		 ← 163.95 m → N 57.533520°
W 14.290466°		 →
↑
163.93 m
↓
↑
163.93 m
↓
N 57.532046°
W 14.293213°		 ← 163.96 m →
26 877 m²		 N 57.532046°
W 14.290466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460300445556641 y=0.303623199462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460300445556641 × 217)
    floor (0.460300445556641 × 131072)
    floor (60332.5)     		tx = 60332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303623199462891 × 217)
    floor (0.303623199462891 × 131072)
    floor (39796.5)     		ty = 39796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60332 / 39796 ti = "17/60332/39796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60332/39796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60332 ÷ 217
    60332 ÷ 131072     		x = 0.460296630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39796 ÷ 217
    39796 ÷ 131072     		y = 0.303619384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460296630859375 × 2 - 1) × π
    -0.07940673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24946363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303619384765625 × 2 - 1) × π
    0.39276123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23389579622025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24946363} λ = -0.24946363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23389579622025))-π/2
    2×atan(3.43458394552401)-π/2
    2×1.28747283828037-π/2
    2.57494567656073-1.57079632675     		φ = 1.00414935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24946363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.293213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00414935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.533520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60332 KachelY 39796 -0.24946363 1.00414935 -14.293213 57.533520
    Oben rechts KachelX + 1 60333 KachelY 39796 -0.24941569 1.00414935 -14.290466 57.533520
    Unten links KachelX 60332 KachelY + 1 39797 -0.24946363 1.00412362 -14.293213 57.532046
    Unten rechts KachelX + 1 60333 KachelY + 1 39797 -0.24941569 1.00412362 -14.290466 57.532046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00414935-1.00412362) × R
    2.57299999999461e-05 × 6371000     		dl = 163.925829999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00414935-1.00412362) × R
    2.57299999999461e-05 × 6371000     		dr = 163.925829999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24946363--0.24941569) × cos(1.00414935) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.536806107042198 × 6371000     		do = 163.95440247987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24946363--0.24941569) × cos(1.00412362) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.536827815410567 × 6371000     		du = 163.961032774343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00414935)-sin(1.00412362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536806107042198-0.536827815410567)×R²
    abs(-0.24941569--0.24946363)×2.17083683693442e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17083683693442e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17083683693442e-05×40589641000000     		ar = 26876.9049483504m²