Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60331 / 39795
↖ ↑ ↗
← N 57.534994°
W 14.295959°		 ← 163.91 m → N 57.534994°
W 14.293213°		 →
↑
163.93 m
↓
↑
163.93 m
↓
N 57.533520°
W 14.295959°		 ← 163.92 m →
26 870 m²		 N 57.533520°
W 14.293213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460292816162109 y=0.303615570068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460292816162109 × 217)
    floor (0.460292816162109 × 131072)
    floor (60331.5)     		tx = 60331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303615570068359 × 217)
    floor (0.303615570068359 × 131072)
    floor (39795.5)     		ty = 39795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60331 / 39795 ti = "17/60331/39795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60331/39795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60331 ÷ 217
    60331 ÷ 131072     		x = 0.460289001464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39795 ÷ 217
    39795 ÷ 131072     		y = 0.303611755371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460289001464844 × 2 - 1) × π
    -0.0794219970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24951156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303611755371094 × 2 - 1) × π
    0.392776489257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.23394373311987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24951156} λ = -0.24951156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23394373311987))-π/2
    2×atan(3.43474859277615)-π/2
    2×1.28748570443042-π/2
    2.57497140886084-1.57079632675     		φ = 1.00417508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24951156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.295959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00417508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.534994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60331 KachelY 39795 -0.24951156 1.00417508 -14.295959 57.534994
    Oben rechts KachelX + 1 60332 KachelY 39795 -0.24946363 1.00417508 -14.293213 57.534994
    Unten links KachelX 60331 KachelY + 1 39796 -0.24951156 1.00414935 -14.295959 57.533520
    Unten rechts KachelX + 1 60332 KachelY + 1 39796 -0.24946363 1.00414935 -14.293213 57.533520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00417508-1.00414935) × R
    2.57299999999461e-05 × 6371000     		dl = 163.925829999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00417508-1.00414935) × R
    2.57299999999461e-05 × 6371000     		dr = 163.925829999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24951156--0.24946363) × cos(1.00417508) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.536784398318445 × 6371000     		do = 163.913573542854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24951156--0.24946363) × cos(1.00414935) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.536806107042198 × 6371000     		du = 163.920202562808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00417508)-sin(1.00414935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536784398318445-0.536806107042198)×R²
    abs(-0.24946363--0.24951156)×2.17087237526226e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17087237526226e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17087237526226e-05×40589641000000     		ar = 26870.2119265489m²