Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60330 / 40426
↖ ↑ ↗
← N 56.592766°
W 14.298706°		 ← 168.16 m → N 56.592766°
W 14.295959°		 →
↑
168.13 m
↓
↑
168.13 m
↓
N 56.591254°
W 14.298706°		 ← 168.17 m →
28 274 m²		 N 56.591254°
W 14.295959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460285186767578 y=0.308429718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460285186767578 × 217)
    floor (0.460285186767578 × 131072)
    floor (60330.5)     		tx = 60330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308429718017578 × 217)
    floor (0.308429718017578 × 131072)
    floor (40426.5)     		ty = 40426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60330 / 40426 ti = "17/60330/40426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60330/40426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60330 ÷ 217
    60330 ÷ 131072     		x = 0.460281372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40426 ÷ 217
    40426 ÷ 131072     		y = 0.308425903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460281372070312 × 2 - 1) × π
    -0.079437255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24955950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308425903320312 × 2 - 1) × π
    0.383148193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20369554945961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24955950} λ = -0.24955950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20369554945961))-π/2
    2×atan(3.33240927855084)-π/2
    2×1.27926321480627-π/2
    2.55852642961253-1.57079632675     		φ = 0.98773010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24955950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.298706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98773010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.592766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60330 KachelY 40426 -0.24955950 0.98773010 -14.298706 56.592766
    Oben rechts KachelX + 1 60331 KachelY 40426 -0.24951156 0.98773010 -14.295959 56.592766
    Unten links KachelX 60330 KachelY + 1 40427 -0.24955950 0.98770371 -14.298706 56.591254
    Unten rechts KachelX + 1 60331 KachelY + 1 40427 -0.24951156 0.98770371 -14.295959 56.591254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98773010-0.98770371) × R
    2.63900000000428e-05 × 6371000     		dl = 168.130690000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98773010-0.98770371) × R
    2.63900000000428e-05 × 6371000     		dr = 168.130690000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24955950--0.24951156) × cos(0.98773010) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55058614077395 × 6371000     		do = 168.163179479615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24955950--0.24951156) × cos(0.98770371) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.550608170383007 × 6371000     		du = 168.169907889263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98773010)-sin(0.98770371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55058614077395-0.550608170383007)×R²
    abs(-0.24951156--0.24955950)×2.20296090568395e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20296090568395e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20296090568395e-05×40589641000000     		ar = 28273.9570263135m²