Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60330 / 34465
↖ ↑ ↗
← N 64.585006°
W 14.298706°		 ← 131.08 m → N 64.585006°
W 14.295959°		 →
↑
131.05 m
↓
↑
131.05 m
↓
N 64.583827°
W 14.298706°		 ← 131.09 m →
17 179 m²		 N 64.583827°
W 14.295959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460285186767578 y=0.262950897216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460285186767578 × 217)
    floor (0.460285186767578 × 131072)
    floor (60330.5)     		tx = 60330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262950897216797 × 217)
    floor (0.262950897216797 × 131072)
    floor (34465.5)     		ty = 34465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60330 / 34465 ti = "17/60330/34465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60330/34465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60330 ÷ 217
    60330 ÷ 131072     		x = 0.460281372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34465 ÷ 217
    34465 ÷ 131072     		y = 0.262947082519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460281372070312 × 2 - 1) × π
    -0.079437255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24955950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262947082519531 × 2 - 1) × π
    0.474105834960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.48944740809476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24955950} λ = -0.24955950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48944740809476))-π/2
    2×atan(4.43464429326323)-π/2
    2×1.3490086650955-π/2
    2.698017330191-1.57079632675     		φ = 1.12722100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24955950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.298706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12722100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.585006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60330 KachelY 34465 -0.24955950 1.12722100 -14.298706 64.585006
    Oben rechts KachelX + 1 60331 KachelY 34465 -0.24951156 1.12722100 -14.295959 64.585006
    Unten links KachelX 60330 KachelY + 1 34466 -0.24955950 1.12720043 -14.298706 64.583827
    Unten rechts KachelX + 1 60331 KachelY + 1 34466 -0.24951156 1.12720043 -14.295959 64.583827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12722100-1.12720043) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dl = 131.051469999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12722100-1.12720043) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dr = 131.051469999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24955950--0.24951156) × cos(1.12722100) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429171518657525 × 6371000     		do = 131.080028672888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24955950--0.24951156) × cos(1.12720043) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429190097864063 × 6371000     		du = 131.085703240794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12722100)-sin(1.12720043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429171518657525-0.429190097864063)×R²
    abs(-0.24951156--0.24955950)×1.85792065380275e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85792065380275e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85792065380275e-05×40589641000000     		ar = 17178.6022760154m²