Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6033 / 6367
↖ ↑ ↗
← S 70.125430°
E 85.122070°		 ← 1 661.22 m → S 70.125430°
E 85.166015°		 →
↑
1 660.66 m
↓
↑
1 660.66 m
↓
S 70.140365°
E 85.122070°		 ← 1 660.03 m →
2 757 740 m²		 S 70.140365°
E 85.166015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.73651123046875 y=0.77728271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.73651123046875 × 213)
    floor (0.73651123046875 × 8192)
    floor (6033.5)     		tx = 6033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77728271484375 × 213)
    floor (0.77728271484375 × 8192)
    floor (6367.5)     		ty = 6367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6033 / 6367 ti = "13/6033/6367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6033/6367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6033 ÷ 213
    6033 ÷ 8192     		x = 0.7364501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6367 ÷ 213
    6367 ÷ 8192     		y = 0.7772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7364501953125 × 2 - 1) × π
    0.472900390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.48566039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.554443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74183518459436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48566039} λ = 1.48566039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74183518459436))-π/2
    2×atan(0.175198583668862)-π/2
    2×0.173438342712393-π/2
    0.346876685424787-1.57079632675     		φ = -1.22391964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48566039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.122070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22391964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.125430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6033 KachelY 6367 1.48566039 -1.22391964 85.122070 -70.125430
    Oben rechts KachelX + 1 6034 KachelY 6367 1.48642738 -1.22391964 85.166015 -70.125430
    Unten links KachelX 6033 KachelY + 1 6368 1.48566039 -1.22418030 85.122070 -70.140365
    Unten rechts KachelX + 1 6034 KachelY + 1 6368 1.48642738 -1.22418030 85.166015 -70.140365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22391964--1.22418030) × R
    0.000260659999999913 × 6371000     		dl = 1660.66485999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22391964--1.22418030) × R
    0.000260659999999913 × 6371000     		dr = 1660.66485999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48566039-1.48642738) × cos(-1.22391964) × R
    0.000766990000000023 × 0.339962184529729 × 6371000     		do = 1661.22293355831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48566039-1.48642738) × cos(-1.22418030) × R
    0.000766990000000023 × 0.339717038125863 × 6371000     		du = 1660.02502730076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22391964)-sin(-1.22418030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339962184529729-0.339717038125863)×R²
    abs(1.48642738-1.48566039)×0.000245146403865304×R²
    0.000766990000000023×0.000245146403865304×6371000²
    0.000766990000000023×0.000245146403865304×40589641000000     		ar = 2757739.9055863m²