Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60329 / 40424
↖ ↑ ↗
← N 56.595791°
W 14.301453°		 ← 168.15 m → N 56.595791°
W 14.298706°		 →
↑
168.13 m
↓
↑
168.13 m
↓
N 56.594279°
W 14.301453°		 ← 168.16 m →
28 272 m²		 N 56.594279°
W 14.298706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460277557373047 y=0.308414459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460277557373047 × 217)
    floor (0.460277557373047 × 131072)
    floor (60329.5)     		tx = 60329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308414459228516 × 217)
    floor (0.308414459228516 × 131072)
    floor (40424.5)     		ty = 40424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60329 / 40424 ti = "17/60329/40424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60329/40424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60329 ÷ 217
    60329 ÷ 131072     		x = 0.460273742675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40424 ÷ 217
    40424 ÷ 131072     		y = 0.30841064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460273742675781 × 2 - 1) × π
    -0.0794525146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24960744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30841064453125 × 2 - 1) × π
    0.3831787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20379142325885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24960744} λ = -0.24960744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20379142325885))-π/2
    2×atan(3.33272878460488)-π/2
    2×1.27928960714256-π/2
    2.55857921428511-1.57079632675     		φ = 0.98778289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24960744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.301453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98778289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.595791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60329 KachelY 40424 -0.24960744 0.98778289 -14.301453 56.595791
    Oben rechts KachelX + 1 60330 KachelY 40424 -0.24955950 0.98778289 -14.298706 56.595791
    Unten links KachelX 60329 KachelY + 1 40425 -0.24960744 0.98775650 -14.301453 56.594279
    Unten rechts KachelX + 1 60330 KachelY + 1 40425 -0.24955950 0.98775650 -14.298706 56.594279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98778289-0.98775650) × R
    2.63899999999317e-05 × 6371000     		dl = 168.130689999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98778289-0.98775650) × R
    2.63899999999317e-05 × 6371000     		dr = 168.130689999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24960744--0.24955950) × cos(0.98778289) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.55054207205744 × 6371000     		do = 168.149719759361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24960744--0.24955950) × cos(0.98775650) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.550564102433518 × 6371000     		du = 168.156448403278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98778289)-sin(0.98775650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55054207205744-0.550564102433518)×R²
    abs(-0.24955950--0.24960744)×2.20303760783969e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20303760783969e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20303760783969e-05×40589641000000     		ar = 28271.6940537897m²