Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60328 / 40233
↖ ↑ ↗
← N 56.883501°
W 14.304199°		 ← 166.83 m → N 56.883501°
W 14.301453°		 →
↑
166.86 m
↓
↑
166.86 m
↓
N 56.882001°
W 14.304199°		 ← 166.84 m →
27 838 m²		 N 56.882001°
W 14.301453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460269927978516 y=0.306957244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460269927978516 × 217)
    floor (0.460269927978516 × 131072)
    floor (60328.5)     		tx = 60328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306957244873047 × 217)
    floor (0.306957244873047 × 131072)
    floor (40233.5)     		ty = 40233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60328 / 40233 ti = "17/60328/40233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60328/40233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60328 ÷ 217
    60328 ÷ 131072     		x = 0.46026611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40233 ÷ 217
    40233 ÷ 131072     		y = 0.306953430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46026611328125 × 2 - 1) × π
    -0.0794677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24965537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306953430175781 × 2 - 1) × π
    0.386093139648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.21294737108628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24965537} λ = -0.24965537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21294737108628))-π/2
    2×atan(3.36338319642753)-π/2
    2×1.2818003561642-π/2
    2.5636007123284-1.57079632675     		φ = 0.99280439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24965537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.304199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99280439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.883501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60328 KachelY 40233 -0.24965537 0.99280439 -14.304199 56.883501
    Oben rechts KachelX + 1 60329 KachelY 40233 -0.24960744 0.99280439 -14.301453 56.883501
    Unten links KachelX 60328 KachelY + 1 40234 -0.24965537 0.99277820 -14.304199 56.882001
    Unten rechts KachelX + 1 60329 KachelY + 1 40234 -0.24960744 0.99277820 -14.301453 56.882001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99280439-0.99277820) × R
    2.6189999999926e-05 × 6371000     		dl = 166.856489999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99280439-0.99277820) × R
    2.6189999999926e-05 × 6371000     		dr = 166.856489999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24965537--0.24960744) × cos(0.99280439) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.546343163147986 × 6371000     		do = 166.832457375399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24965537--0.24960744) × cos(0.99277820) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.546365098694448 × 6371000     		du = 166.839155658396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99280439)-sin(0.99277820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546343163147986-0.546365098694448)×R²
    abs(-0.24960744--0.24965537)×2.19355464615711e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19355464615711e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19355464615711e-05×40589641000000     		ar = 27837.6370831806m²