Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60327 / 40421
↖ ↑ ↗
← N 56.600327°
W 14.306946°		 ← 168.13 m → N 56.600327°
W 14.304199°		 →
↑
168.13 m
↓
↑
168.13 m
↓
N 56.598815°
W 14.306946°		 ← 168.14 m →
28 268 m²		 N 56.598815°
W 14.304199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460262298583984 y=0.308391571044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460262298583984 × 217)
    floor (0.460262298583984 × 131072)
    floor (60327.5)     		tx = 60327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308391571044922 × 217)
    floor (0.308391571044922 × 131072)
    floor (40421.5)     		ty = 40421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60327 / 40421 ti = "17/60327/40421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60327/40421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60327 ÷ 217
    60327 ÷ 131072     		x = 0.460258483886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40421 ÷ 217
    40421 ÷ 131072     		y = 0.308387756347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460258483886719 × 2 - 1) × π
    -0.0794830322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24970331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308387756347656 × 2 - 1) × π
    0.383224487304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.20393523395771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24970331} λ = -0.24970331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20393523395771))-π/2
    2×atan(3.33320810112511)-π/2
    2×1.27932919168654-π/2
    2.55865838337308-1.57079632675     		φ = 0.98786206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24970331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.306946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98786206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.600327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60327 KachelY 40421 -0.24970331 0.98786206 -14.306946 56.600327
    Oben rechts KachelX + 1 60328 KachelY 40421 -0.24965537 0.98786206 -14.304199 56.600327
    Unten links KachelX 60327 KachelY + 1 40422 -0.24970331 0.98783567 -14.306946 56.598815
    Unten rechts KachelX + 1 60328 KachelY + 1 40422 -0.24965537 0.98783567 -14.304199 56.598815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98786206-0.98783567) × R
    2.63899999999317e-05 × 6371000     		dl = 168.130689999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98786206-0.98783567) × R
    2.63899999999317e-05 × 6371000     		dr = 168.130689999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24970331--0.24965537) × cos(0.98786206) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.550475978628775 × 6371000     		do = 168.129533125002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24970331--0.24965537) × cos(0.98783567) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.550498010155053 × 6371000     		du = 168.136262120219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98786206)-sin(0.98783567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550475978628775-0.550498010155053)×R²
    abs(-0.24965537--0.24970331)×2.20315262778881e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20315262778881e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20315262778881e-05×40589641000000     		ar = 28268.3000904549m²