Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60326 / 82076
↖ ↑ ↗
← S 41.302571°
W 14.309693°		 ← 229.45 m → S 41.302571°
W 14.306946°		 →
↑
229.42 m
↓
↑
229.42 m
↓
S 41.304635°
W 14.309693°		 ← 229.44 m →
52 639 m²		 S 41.304635°
W 14.306946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460254669189453 y=0.626194000244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460254669189453 × 217)
    floor (0.460254669189453 × 131072)
    floor (60326.5)     		tx = 60326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626194000244141 × 217)
    floor (0.626194000244141 × 131072)
    floor (82076.5)     		ty = 82076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60326 / 82076 ti = "17/60326/82076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60326/82076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60326 ÷ 217
    60326 ÷ 131072     		x = 0.460250854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82076 ÷ 217
    82076 ÷ 131072     		y = 0.626190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460250854492188 × 2 - 1) × π
    -0.079498291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24975125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626190185546875 × 2 - 1) × π
    -0.25238037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.792876319715729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24975125} λ = -0.24975125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.792876319715729))-π/2
    2×atan(0.452541268128927)-π/2
    2×0.424965235838626-π/2
    0.849930471677251-1.57079632675     		φ = -0.72086586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24975125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.309693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72086586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.302571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60326 KachelY 82076 -0.24975125 -0.72086586 -14.309693 -41.302571
    Oben rechts KachelX + 1 60327 KachelY 82076 -0.24970331 -0.72086586 -14.306946 -41.302571
    Unten links KachelX 60326 KachelY + 1 82077 -0.24975125 -0.72090187 -14.309693 -41.304635
    Unten rechts KachelX + 1 60327 KachelY + 1 82077 -0.24970331 -0.72090187 -14.306946 -41.304635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72086586--0.72090187) × R
    3.60099999999752e-05 × 6371000     		dl = 229.419709999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72086586--0.72090187) × R
    3.60099999999752e-05 × 6371000     		dr = 229.419709999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24975125--0.24970331) × cos(-0.72086586) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.751234512580712 × 6371000     		do = 229.446356918486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24975125--0.24970331) × cos(-0.72090187) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.751210744219497 × 6371000     		du = 229.439097449173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72086586)-sin(-0.72090187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751234512580712-0.751210744219497)×R²
    abs(-0.24970331--0.24975125)×2.3768361215204e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3768361215204e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3768361215204e-05×40589641000000     		ar = 52638.6839377172m²