Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60326 / 30126
↖ ↑ ↗
← N 69.242525°
W 14.309693°		 ← 108.25 m → N 69.242525°
W 14.306946°		 →
↑
108.24 m
↓
↑
108.24 m
↓
N 69.241552°
W 14.309693°		 ← 108.25 m →
11 717 m²		 N 69.241552°
W 14.306946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460254669189453 y=0.229846954345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460254669189453 × 217)
    floor (0.460254669189453 × 131072)
    floor (60326.5)     		tx = 60326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229846954345703 × 217)
    floor (0.229846954345703 × 131072)
    floor (30126.5)     		ty = 30126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60326 / 30126 ti = "17/60326/30126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60326/30126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60326 ÷ 217
    60326 ÷ 131072     		x = 0.460250854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30126 ÷ 217
    30126 ÷ 131072     		y = 0.229843139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460250854492188 × 2 - 1) × π
    -0.079498291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24975125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229843139648438 × 2 - 1) × π
    0.540313720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69744561554619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24975125} λ = -0.24975125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69744561554619))-π/2
    2×atan(5.45998266883749)-π/2
    2×1.38965319013786-π/2
    2.77930638027571-1.57079632675     		φ = 1.20851005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24975125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.309693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20851005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.242525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60326 KachelY 30126 -0.24975125 1.20851005 -14.309693 69.242525
    Oben rechts KachelX + 1 60327 KachelY 30126 -0.24970331 1.20851005 -14.306946 69.242525
    Unten links KachelX 60326 KachelY + 1 30127 -0.24975125 1.20849306 -14.309693 69.241552
    Unten rechts KachelX + 1 60327 KachelY + 1 30127 -0.24970331 1.20849306 -14.306946 69.241552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20851005-1.20849306) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dl = 108.243289999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20851005-1.20849306) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dr = 108.243289999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24975125--0.24970331) × cos(1.20851005) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.354413029922254 × 6371000     		do = 108.246861929638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24975125--0.24970331) × cos(1.20849306) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.354428917032905 × 6371000     		du = 108.251714262165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20851005)-sin(1.20849306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354413029922254-0.354428917032905)×R²
    abs(-0.24970331--0.24975125)×1.58871106506475e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.58871106506475e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.58871106506475e-05×40589641000000     		ar = 11717.2590839522m²