Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60325 / 40311
↖ ↑ ↗
← N 56.766273°
W 14.312439°		 ← 167.36 m → N 56.766273°
W 14.309693°		 →
↑
167.43 m
↓
↑
167.43 m
↓
N 56.764767°
W 14.312439°		 ← 167.36 m →
28 021 m²		 N 56.764767°
W 14.309693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460247039794922 y=0.307552337646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460247039794922 × 217)
    floor (0.460247039794922 × 131072)
    floor (60325.5)     		tx = 60325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307552337646484 × 217)
    floor (0.307552337646484 × 131072)
    floor (40311.5)     		ty = 40311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60325 / 40311 ti = "17/60325/40311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60325/40311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60325 ÷ 217
    60325 ÷ 131072     		x = 0.460243225097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40311 ÷ 217
    40311 ÷ 131072     		y = 0.307548522949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460243225097656 × 2 - 1) × π
    -0.0795135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24979918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307548522949219 × 2 - 1) × π
    0.384902954101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.20920829291592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24979918} λ = -0.24979918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20920829291592))-π/2
    2×atan(3.3508307256982)-π/2
    2×1.28077734592347-π/2
    2.56155469184693-1.57079632675     		φ = 0.99075837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24979918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.312439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99075837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.766273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60325 KachelY 40311 -0.24979918 0.99075837 -14.312439 56.766273
    Oben rechts KachelX + 1 60326 KachelY 40311 -0.24975125 0.99075837 -14.309693 56.766273
    Unten links KachelX 60325 KachelY + 1 40312 -0.24979918 0.99073209 -14.312439 56.764767
    Unten rechts KachelX + 1 60326 KachelY + 1 40312 -0.24975125 0.99073209 -14.309693 56.764767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99075837-0.99073209) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dl = 167.429880000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99075837-0.99073209) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dr = 167.429880000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24979918--0.24975125) × cos(0.99075837) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.548055685838333 × 6371000     		do = 167.355396780641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24979918--0.24975125) × cos(0.99073209) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.548077667340844 × 6371000     		du = 167.36210909687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99075837)-sin(0.99073209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548055685838333-0.548077667340844)×R²
    abs(-0.24975125--0.24979918)×2.19815025108705e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19815025108705e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19815025108705e-05×40589641000000     		ar = 28020.8559231836m²