Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60322 / 40652
↖ ↑ ↗
← N 56.249454°
W 14.320678°		 ← 169.65 m → N 56.249454°
W 14.317932°		 →
↑
169.72 m
↓
↑
169.72 m
↓
N 56.247928°
W 14.320678°		 ← 169.66 m →
28 795 m²		 N 56.247928°
W 14.317932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460224151611328 y=0.310153961181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460224151611328 × 217)
    floor (0.460224151611328 × 131072)
    floor (60322.5)     		tx = 60322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310153961181641 × 217)
    floor (0.310153961181641 × 131072)
    floor (40652.5)     		ty = 40652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60322 / 40652 ti = "17/60322/40652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60322/40652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60322 ÷ 217
    60322 ÷ 131072     		x = 0.460220336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40652 ÷ 217
    40652 ÷ 131072     		y = 0.310150146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460220336914062 × 2 - 1) × π
    -0.079559326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24994299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310150146484375 × 2 - 1) × π
    0.37969970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19286181014548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24994299} λ = -0.24994299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19286181014548))-π/2
    2×atan(3.29650168310848)-π/2
    2×1.27626725228605-π/2
    2.5525345045721-1.57079632675     		φ = 0.98173818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24994299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.320678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98173818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.249454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60322 KachelY 40652 -0.24994299 0.98173818 -14.320678 56.249454
    Oben rechts KachelX + 1 60323 KachelY 40652 -0.24989506 0.98173818 -14.317932 56.249454
    Unten links KachelX 60322 KachelY + 1 40653 -0.24994299 0.98171154 -14.320678 56.247928
    Unten rechts KachelX + 1 60323 KachelY + 1 40653 -0.24989506 0.98171154 -14.317932 56.247928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98173818-0.98171154) × R
    2.66399999999667e-05 × 6371000     		dl = 169.723439999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98173818-0.98171154) × R
    2.66399999999667e-05 × 6371000     		dr = 169.723439999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24994299--0.24989506) × cos(0.98173818) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.555578152116207 × 6371000     		do = 169.652472353859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24994299--0.24989506) × cos(0.98171154) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.555600302128568 × 6371000     		du = 169.659236126599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98173818)-sin(0.98171154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555578152116207-0.555600302128568)×R²
    abs(-0.24989506--0.24994299)×2.21500123614993e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21500123614993e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21500123614993e-05×40589641000000     		ar = 28794.5751993372m²