Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60321 / 82078
↖ ↑ ↗
← S 41.306698°
W 14.323425°		 ← 229.43 m → S 41.306698°
W 14.320678°		 →
↑
229.42 m
↓
↑
229.42 m
↓
S 41.308761°
W 14.323425°		 ← 229.42 m →
52 635 m²		 S 41.308761°
W 14.320678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460216522216797 y=0.626209259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460216522216797 × 217)
    floor (0.460216522216797 × 131072)
    floor (60321.5)     		tx = 60321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626209259033203 × 217)
    floor (0.626209259033203 × 131072)
    floor (82078.5)     		ty = 82078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60321 / 82078 ti = "17/60321/82078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60321/82078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60321 ÷ 217
    60321 ÷ 131072     		x = 0.460212707519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82078 ÷ 217
    82078 ÷ 131072     		y = 0.626205444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460212707519531 × 2 - 1) × π
    -0.0795745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24999093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626205444335938 × 2 - 1) × π
    -0.252410888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.792972193514969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24999093} λ = -0.24999093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.792972193514969))-π/2
    2×atan(0.452497883358003)-π/2
    2×0.424929225124474-π/2
    0.849858450248949-1.57079632675     		φ = -0.72093788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24999093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.323425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72093788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.306698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60321 KachelY 82078 -0.24999093 -0.72093788 -14.323425 -41.306698
    Oben rechts KachelX + 1 60322 KachelY 82078 -0.24994299 -0.72093788 -14.320678 -41.306698
    Unten links KachelX 60321 KachelY + 1 82079 -0.24999093 -0.72097389 -14.323425 -41.308761
    Unten rechts KachelX + 1 60322 KachelY + 1 82079 -0.24994299 -0.72097389 -14.320678 -41.308761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72093788--0.72097389) × R
    3.60099999999752e-05 × 6371000     		dl = 229.419709999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72093788--0.72097389) × R
    3.60099999999752e-05 × 6371000     		dr = 229.419709999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24999093--0.24994299) × cos(-0.72093788) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.751186974884171 × 6371000     		do = 229.431837682342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24999093--0.24994299) × cos(-0.72097389) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.751163204574767 × 6371000     		du = 229.424577618002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72093788)-sin(-0.72097389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751186974884171-0.751163204574767)×R²
    abs(-0.24994299--0.24999093)×2.37703094044805e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37703094044805e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37703094044805e-05×40589641000000     		ar = 52635.3528707185m²