Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60321 / 82023
↖ ↑ ↗
← S 41.193123°
W 14.323425°		 ← 229.83 m → S 41.193123°
W 14.320678°		 →
↑
229.80 m
↓
↑
229.80 m
↓
S 41.195190°
W 14.323425°		 ← 229.82 m →
52 815 m²		 S 41.195190°
W 14.320678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460216522216797 y=0.625789642333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460216522216797 × 217)
    floor (0.460216522216797 × 131072)
    floor (60321.5)     		tx = 60321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625789642333984 × 217)
    floor (0.625789642333984 × 131072)
    floor (82023.5)     		ty = 82023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60321 / 82023 ti = "17/60321/82023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60321/82023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60321 ÷ 217
    60321 ÷ 131072     		x = 0.460212707519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82023 ÷ 217
    82023 ÷ 131072     		y = 0.625785827636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460212707519531 × 2 - 1) × π
    -0.0795745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24999093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625785827636719 × 2 - 1) × π
    -0.251571655273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.790335664035866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24999093} λ = -0.24999093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790335664035866))-π/2
    2×atan(0.453692481471279)-π/2
    2×0.425920349980675-π/2
    0.85184069996135-1.57079632675     		φ = -0.71895563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24999093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.323425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71895563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.193123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60321 KachelY 82023 -0.24999093 -0.71895563 -14.323425 -41.193123
    Oben rechts KachelX + 1 60322 KachelY 82023 -0.24994299 -0.71895563 -14.320678 -41.193123
    Unten links KachelX 60321 KachelY + 1 82024 -0.24999093 -0.71899170 -14.323425 -41.195190
    Unten rechts KachelX + 1 60322 KachelY + 1 82024 -0.24994299 -0.71899170 -14.320678 -41.195190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71895563--0.71899170) × R
    3.60700000000547e-05 × 6371000     		dl = 229.801970000348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71895563--0.71899170) × R
    3.60700000000547e-05 × 6371000     		dr = 229.801970000348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24999093--0.24994299) × cos(-0.71895563) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.752493960585091 × 6371000     		do = 229.831024757215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24999093--0.24994299) × cos(-0.71899170) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.752470204424271 × 6371000     		du = 229.823769014217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71895563)-sin(-0.71899170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752493960585091-0.752470204424271)×R²
    abs(-0.24994299--0.24999093)×2.37561608195103e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37561608195103e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37561608195103e-05×40589641000000     		ar = 52814.7885702701m²