Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60320 / 83553
↖ ↑ ↗
← S 44.278638°
W 14.326172°		 ← 218.67 m → S 44.278638°
W 14.323425°		 →
↑
218.65 m
↓
↑
218.65 m
↓
S 44.280604°
W 14.326172°		 ← 218.66 m →
47 812 m²		 S 44.280604°
W 14.323425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460208892822266 y=0.637462615966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460208892822266 × 217)
    floor (0.460208892822266 × 131072)
    floor (60320.5)     		tx = 60320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637462615966797 × 217)
    floor (0.637462615966797 × 131072)
    floor (83553.5)     		ty = 83553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60320 / 83553 ti = "17/60320/83553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60320/83553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60320 ÷ 217
    60320 ÷ 131072     		x = 0.460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83553 ÷ 217
    83553 ÷ 131072     		y = 0.637458801269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.07958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25003887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637458801269531 × 2 - 1) × π
    -0.274917602539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.863679120454552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25003887} λ = -0.25003887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.863679120454552))-π/2
    2×atan(0.421608078481659)-π/2
    2×0.398994155058325-π/2
    0.79798831011665-1.57079632675     		φ = -0.77280802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25003887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.326172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77280802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.278638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60320 KachelY 83553 -0.25003887 -0.77280802 -14.326172 -44.278638
    Oben rechts KachelX + 1 60321 KachelY 83553 -0.24999093 -0.77280802 -14.323425 -44.278638
    Unten links KachelX 60320 KachelY + 1 83554 -0.25003887 -0.77284234 -14.326172 -44.280604
    Unten rechts KachelX + 1 60321 KachelY + 1 83554 -0.24999093 -0.77284234 -14.323425 -44.280604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77280802--0.77284234) × R
    3.43199999999211e-05 × 6371000     		dl = 218.652719999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77280802--0.77284234) × R
    3.43199999999211e-05 × 6371000     		dr = 218.652719999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25003887--0.24999093) × cos(-0.77280802) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.715953080154592 × 6371000     		do = 218.670499311605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25003887--0.24999093) × cos(-0.77284234) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.715929119279896 × 6371000     		du = 218.66318104372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77280802)-sin(-0.77284234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715953080154592-0.715929119279896)×R²
    abs(-0.24999093--0.25003887)×2.39608746958053e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39608746958053e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39608746958053e-05×40589641000000     		ar = 47812.0993833318m²