Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60319 / 40223
↖ ↑ ↗
← N 56.898504°
W 14.328919°		 ← 166.80 m → N 56.898504°
W 14.326172°		 →
↑
166.79 m
↓
↑
166.79 m
↓
N 56.897004°
W 14.328919°		 ← 166.81 m →
27 822 m²		 N 56.897004°
W 14.326172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460201263427734 y=0.306880950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460201263427734 × 217)
    floor (0.460201263427734 × 131072)
    floor (60319.5)     		tx = 60319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306880950927734 × 217)
    floor (0.306880950927734 × 131072)
    floor (40223.5)     		ty = 40223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60319 / 40223 ti = "17/60319/40223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60319/40223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60319 ÷ 217
    60319 ÷ 131072     		x = 0.460197448730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40223 ÷ 217
    40223 ÷ 131072     		y = 0.306877136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460197448730469 × 2 - 1) × π
    -0.0796051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25008681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306877136230469 × 2 - 1) × π
    0.386245727539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.21342674008248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25008681} λ = -0.25008681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21342674008248))-π/2
    2×atan(3.3649958845597)-π/2
    2×1.28193127986569-π/2
    2.56386255973139-1.57079632675     		φ = 0.99306623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25008681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.328919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99306623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.898504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60319 KachelY 40223 -0.25008681 0.99306623 -14.328919 56.898504
    Oben rechts KachelX + 1 60320 KachelY 40223 -0.25003887 0.99306623 -14.326172 56.898504
    Unten links KachelX 60319 KachelY + 1 40224 -0.25008681 0.99304005 -14.328919 56.897004
    Unten rechts KachelX + 1 60320 KachelY + 1 40224 -0.25003887 0.99304005 -14.326172 56.897004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99306623-0.99304005) × R
    2.61800000000978e-05 × 6371000     		dl = 166.792780000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99306623-0.99304005) × R
    2.61800000000978e-05 × 6371000     		dr = 166.792780000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25008681--0.25003887) × cos(0.99306623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.546123837337114 × 6371000     		do = 166.800277150218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25008681--0.25003887) × cos(0.99304005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.546145768252595 × 6371000     		du = 166.806975416308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99306623)-sin(0.99304005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546123837337114-0.546145768252595)×R²
    abs(-0.25003887--0.25008681)×2.19309154805281e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19309154805281e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19309154805281e-05×40589641000000     		ar = 27821.6405436509m²