Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60319 / 34609
↖ ↑ ↗
← N 64.414735°
W 14.328919°		 ← 131.90 m → N 64.414735°
W 14.326172°		 →
↑
131.88 m
↓
↑
131.88 m
↓
N 64.413549°
W 14.328919°		 ← 131.90 m →
17 395 m²		 N 64.413549°
W 14.326172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460201263427734 y=0.264049530029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460201263427734 × 217)
    floor (0.460201263427734 × 131072)
    floor (60319.5)     		tx = 60319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264049530029297 × 217)
    floor (0.264049530029297 × 131072)
    floor (34609.5)     		ty = 34609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60319 / 34609 ti = "17/60319/34609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60319/34609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60319 ÷ 217
    60319 ÷ 131072     		x = 0.460197448730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34609 ÷ 217
    34609 ÷ 131072     		y = 0.264045715332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460197448730469 × 2 - 1) × π
    -0.0796051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25008681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264045715332031 × 2 - 1) × π
    0.471908569335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.48254449454948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25008681} λ = -0.25008681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48254449454948))-π/2
    2×atan(4.4041377402885)-π/2
    2×1.34752277297943-π/2
    2.69504554595886-1.57079632675     		φ = 1.12424922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25008681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.328919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12424922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.414735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60319 KachelY 34609 -0.25008681 1.12424922 -14.328919 64.414735
    Oben rechts KachelX + 1 60320 KachelY 34609 -0.25003887 1.12424922 -14.326172 64.414735
    Unten links KachelX 60319 KachelY + 1 34610 -0.25008681 1.12422852 -14.328919 64.413549
    Unten rechts KachelX + 1 60320 KachelY + 1 34610 -0.25003887 1.12422852 -14.326172 64.413549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12424922-1.12422852) × R
    2.07000000000956e-05 × 6371000     		dl = 131.879700000609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12424922-1.12422852) × R
    2.07000000000956e-05 × 6371000     		dr = 131.879700000609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25008681--0.25003887) × cos(1.12424922) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431853799678566 × 6371000     		do = 131.899266338551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25008681--0.25003887) × cos(1.12422852) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431872469819 × 6371000     		du = 131.904968680009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12424922)-sin(1.12422852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431853799678566-0.431872469819)×R²
    abs(-0.25003887--0.25008681)×1.86701404336631e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86701404336631e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86701404336631e-05×40589641000000     		ar = 17395.2116873509m²