Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60315 / 82119
↖ ↑ ↗
← S 41.391234°
W 14.339905°		 ← 229.09 m → S 41.391234°
W 14.337158°		 →
↑
229.10 m
↓
↑
229.10 m
↓
S 41.393294°
W 14.339905°		 ← 229.08 m →
52 483 m²		 S 41.393294°
W 14.337158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460170745849609 y=0.626522064208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460170745849609 × 217)
    floor (0.460170745849609 × 131072)
    floor (60315.5)     		tx = 60315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626522064208984 × 217)
    floor (0.626522064208984 × 131072)
    floor (82119.5)     		ty = 82119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60315 / 82119 ti = "17/60315/82119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60315/82119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60315 ÷ 217
    60315 ÷ 131072     		x = 0.460166931152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82119 ÷ 217
    82119 ÷ 131072     		y = 0.626518249511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460166931152344 × 2 - 1) × π
    -0.0796661376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25027855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626518249511719 × 2 - 1) × π
    -0.253036499023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.794937606399391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25027855} λ = -0.25027855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794937606399391))-π/2
    2×atan(0.451609411580819)-π/2
    2×0.424191507752316-π/2
    0.848383015504633-1.57079632675     		φ = -0.72241331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25027855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.339905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72241331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.391234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60315 KachelY 82119 -0.25027855 -0.72241331 -14.339905 -41.391234
    Oben rechts KachelX + 1 60316 KachelY 82119 -0.25023062 -0.72241331 -14.337158 -41.391234
    Unten links KachelX 60315 KachelY + 1 82120 -0.25027855 -0.72244927 -14.339905 -41.393294
    Unten rechts KachelX + 1 60316 KachelY + 1 82120 -0.25023062 -0.72244927 -14.337158 -41.393294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72241331--0.72244927) × R
    3.59600000000571e-05 × 6371000     		dl = 229.101160000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72241331--0.72244927) × R
    3.59600000000571e-05 × 6371000     		dr = 229.101160000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25027855--0.25023062) × cos(-0.72241331) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.750212241781105 × 6371000     		do = 229.086333081004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25027855--0.25023062) × cos(-0.72244927) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.750188464648683 × 6371000     		du = 229.07907244758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72241331)-sin(-0.72244927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750212241781105-0.750188464648683)×R²
    abs(-0.25023062--0.25027855)×2.37771324216318e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37771324216318e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37771324216318e-05×40589641000000     		ar = 52483.1129449982m²